Phép quay là gì? Công thức về Phép quay và bài tập ví dụ

Quý Lê Xuân Ngày: 08-03-2024 Tổng hợp kiến thức

Tải xuống 9 4.4 K 10

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh tài liệu Phép quay là gì? Công thức về Phép quay và bài tập ví dụ. Tài liệu gồm đầy đủ lý thuyết và những câu hỏi trắc nghiệm cực hay bám sát chương trình sgk Toán 11. Hi vọng với Phép quay là gì? Công thức về Phép quay và bài tập ví dụ này sẽ giúp bạn ôn luyện kiến thức để đạt kết quả cao trong bài thi môn Toán 11 sắp tới.

Phép quay là gì? Công thức về Phép quay và bài tập ví dụ

1. Định nghĩa.

- Định nghĩa: Cho điểm O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc lượng giác (OM; OM’) bằng α được gọi là phép quay tâm O góc α.

- Điểm O được gọi là tâm quay, α được gọi là góc quay của phép quay đó.

Phép quay tâm O góc α được kí hiệu là Q_{(O, α).}

- Nhận xét:

1) Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ.

Lý thuyết Phép quay chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

2) Với k là số nguyên ta luôn có:

Phép quay là phép đồng nhất.

Phép quay là phép đối xứng tâm O.

2. Tính chất

- Tính chất 1. Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Lý thuyết Phép quay chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Phép quay tâm O, góc (OA, OA’) biến điểm A thành A’, B thành B’. Khi đó ta có A’B’ = AB.

- Tính chất 2. Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Lý thuyết Phép quay chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Nhận xét: Phép quay góc α với , biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ sao cho góc giữa d và d’ bằng α (nếu $0 < α \leq \frac{π}{2}$ ), hoặc bằng $π - α$ (nếu $\frac{π}{2} \leq α < π)$

Lý thuyết Phép quay chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

3. Công thức phép quay

Phép quay tâm O, góc 90⁰: Q(o;90^o) [ M(x;y)] = M’(x’;y’). Khi đó:
Phép quay tâm O, góc -90⁰: Q(o;-90^o) [ M(x;y)] = M’(x’;y’). Khi đó:
Phép quay tâm O, góc 180⁰: Q(o;180^o) [ M(x;y)] = M’(x’;y’). Khi đó:

Công thức tổng quát

Phép quay tâm O, góc quay α: Q(O,α) [ M(x;y)] = M’(x’;y’).

Phép quay là gì? Công thức về Phép quay và bài tập ví dụ (ảnh 1)

Phép quay tâm I(a;b), góc quay α: Q(I, ∞) [ M(x;y)] = M’(x’;y’).

Phép quay là gì? Công thức về Phép quay và bài tập ví dụ (ảnh 2)

4. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C. dựng các tam giác đều ABD, BCE về cùng phía đối với đường thẳng AC. Gọi F, G lần lượt là trung điểm của các cạnh AE và DC. Tam giác BFG là:

A. tam giác thường B. tam giác vuông đỉnh B

C. tam giác cân đỉnh B D. tam giác đều

Đáp án: D

(Hình 1) Xét phép quay tâm B góc quay -60⁰ biến A thành D, biến E thành C suy ra phép quay này biến đoạn thẳng AE thành đoạn thẳng DC, suy ra nó biến trung điểm F của AE thành trung điểm G của DC, suy ra nó biến đoạn thẳng BF thành đoạn thẳng BG do đó BF = BG và góc FBG bằng 60⁰. Vậy tam giác BFG là tam giác đều.

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Câu 2: Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 60⁰.

a) Phép biến hình nào sau đây biến AB thành BC?

A. Đ₀ B. T_{2 $\vec{O C}$}

C. Q_{(D; 60⁰)} D. Q_{(B; 120⁰)}

b) Phép biến hình nào sau đây không biến A thành C?

A. Đ_BD B. T_{2 $\vec{O C}$}

C. Q_{(B; 120⁰)} D. Q_{(B; 120⁰)}

Đáp án: a - C, b - D

(hình 2)

Chọn đáp án C

Phương án A. Đ₀(AB) = CD

Phương án B. T_{2 $\vec{O C}$}(AB) = CB' với ACB'B là hình bình hành

Phương án D. Q_(B,120⁰)(AB) = A' Bvới A' là điểm đối xứng của D và B.

Góc quay là -120⁰ (thuận chiều kim đồng hồ) thì A biến thành C

Câu 3: Cho hình vuông ABCD tâm O. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD?

a) phép biến hình nào sau đây biến $\vec{B E}$ thành $\vec{C F}$

A.Q_{(A; 45⁰)} B . Q_{(O; -90⁰)}

C. Q_{(A; 90⁰)} D. Q_{(O; 90⁰)}

b) phép biến hình nào sau đây biến $\vec{B E}$ thành $\vec{D F}$ ?

A. Q_{(O; 45⁰)} B. Q_{(O; 90⁰)}

C. Q_{(A; -90⁰)} D. Q_{(C; 90⁰)}

Đáp án: a - B, b - D

a) Xét từng điểm: Phép quay tâm O góc quay -90⁰ biến B thành C, E thành F.

Phương án A. Q_{(A, 45⁰)}(B) = B' ≠ C và Q_{(A, 45⁰)}(E) = E' ≠ F(sai cả hai ảnh)

Phương án C. Q_{(A, -90⁰)}(B) = D và Q_{(A, 90⁰)}(E) = E' ≠ F(sai về chiều góc và ảnh của E)

Phương án D. Q_{(O, 90⁰)}(B) = A và Q_{(O, -90⁰)}(E) = F

b) Nhận xét. Khi luyện tập ta kiểm tra cả bốn phương án và trong mỗi phương án kiểm tra cả hai điểm B, D. còn trong khi kiểm tra, thi cử khi thấy ảnh của một điểm sai thì loại phương án đó; thấy ảnh của cả hai điểm đều đúng thì chọn phương án đó mà không cần kiểm tra các phương án còn lại.

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm M (-6;1) qua phép quay Q_{(O; 90⁰)} là:

A. M'(-1;-6) B. M'(1;6)

C. M'(-6;-1) D. M'(6;1)

Đáp án: A

5. Nhận xét. Cách làm các bài từ 5 đến 9: Vẽ hệ tọa độ Oxy, lấy điểm M, thực hiện phép quay. Chú ý chiều dương là ngược kim đồng hồ, chiều âm thuận chiều kim đồng hồ (hình 1)

Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy qua phép quay Q_{(O; 90⁰)} thì M'(2; -3) là ảnh của điểm.

A. M(3;2) B. M(2;3)

C. M(3;-2) D. M(-3;-2)

Đáp án: D

(hình 2) vẽ ảnh của M’ qua phép quay Q_{(O, 90⁰)} là điểm M (- 3; -2)

Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;1). Điểm nào sau đây là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay 45⁰.

A.( 0;√2) B. (-1;1) C. (1;0) D. (√2;0)

Đáp án: A

Nhận xét. Hình vuông có cạnh bằng 1 thì đường chéo bằng √2.

Câu 7: Cho một tam giác ABC tâm O. gọi A, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Q_{(0; 120⁰)}(∆ODC) = ∆OFA B. Q_{(0; 120⁰)}(∆AOF) = ∆BOD

C. Q_{(0; 120⁰)}(∆AOB) = ∆AOC D. Q_{(0; 60⁰)}(∆OFE) = ∆ODE

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Đáp án: B

D. Không có trên hình vẽ

Chọn đáp án B

Câu 8: Dựng ra phía ngoài tam giác vuông cân ABC đỉnh A các tam giác đều ABD và ACE. Góc giữa hai đường thẳng BE và CD là:

A. 90⁰ B. 60⁰

C. 45⁰ D. 30⁰

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Đáp án: B

Xét phép quay tâm A góc quay 60⁰ biến D thành B và biến C thành E, suy ra phép quay đó biến đường thẳng DC thành đường thẳng BE suy ra góc giữa DC và BE bằng góc quay 60⁰. Chọn đáp án B.

Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1;0). Phép quay tâm O góc quay 45⁰ biến M thành M’ có tọa độ

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Đáp án: D

Ta có OM’ = OM = 1; tứ giác OHM’K là hình vuông đường chéo bằng 1 suy ra cạnh bằng (√2)/2. Chọn đáp án D

Câu 10: Cho hình lục giác ABCDEF, tâm O. mệnh đề nào sau đây sai?

A. phép quay tâm O góc quay 60⁰ biến tam giác BCD thành tam giác ABC.

B. phép quay tâm O góc quay 120⁰ biến tam giác OEC thành tam giác OCA

C. phép quay tâm O góc quay -60⁰, biến tam giác AFD thành tam giác FEC.

D. phép quay tâm O góc quay -120⁰ biến tam giác BCD thành tam giác DEF.

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Đáp án: C

Phép quay tâm O góc quay -60⁰ biến tam giác AFD thành tam gics ABE.

Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy phép quay tâm K, góc 60⁰ biến M(1;1) thành M’(-1;1). Tọa độ điểm K là:

A. (0;0) B. (0;-√3) C. (0;1-√3) D. (√2;0)

Đáp án: C

Tam giác đều KMM’ có cạnh MM’ = 2 nên đường cao bằng √3.

Suy ra OK = √3-1 ⇒ K(0; 1-√3)

Nhận xét. Phép quay có góc quay bằng ±60⁰ thì tam giác tạo bởi tâm quay, điểm M và ảnh M’ của nó luôn tạo thành một tam giác đều.

Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy phép quay Q_{(O; 60⁰)} biến đường thẳng d có phương trình x - 2y = 0 thành đường thẳng d’ có phương trình:

A. x + 2y = 0

B. 2x + y = 0

C. 2x - y = 0

D. x - y + 2 = 0

Đáp án: B

Lấy M(2; 1) thuộc d, phép quay Q_{(O, 90⁰)} biến M(2; 1) thành M’(-1; 2). Tâm quay O(0; 0) thuộc d ⇒ d' đi qua O và M’ có phương trình 2x + y = 0.

Câu 13: trong mặt phẳng Oxy phép quay Q_{(O; 90⁰)} biến đường thẳng d có phương trình: 2x - y + 1 = 0 thành đường thẳng d’ có phương trình.

A. x + 2y - 1 = 0

B. 2x + y + 1 = 0

C. 2x - y + 1 = 0

D. x + 2y + 1 = 0

Đáp án: D

Lấy A(0; 1) và B(-1/2;0) thuộc d, phép quay Q_{(O, 90⁰)} biến A thành A’(-1; 0), biến B thành B’(0; -1/2) phương trình d’ qua A’, B’ là x + 2y + 1 = 0.

Câu 14: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 3)² + y² = 4. Phép quay tâm O(0;0) góc quay 90⁰ biến (C) thành (C’) có phương trình:

A. x² + y² - 6x + 5 = 0

B. x² + y² - 6y + 6 = 0

C. x² + y² + 6x - 6 = 0

D. x² + y² - 6y + 5 = 0

Đáp án: D

Phép quay tâm O(0; 0) góc quay 90⁰ biến tâm I(3; 0) của (C) thành tâm I’(0; 3) của (C’), bán kính không thay đổi. phương trình (C’) là x² + (y - 3)² = 4 ⇒ x² + y² - 6y + 5 = 0

Câu 15: Dựng ra phía ngoài tam giác vuông cân ABC đỉnh A các tam giác đều ABD và ACE. Góc giữa hai đường thẳng BE và CD là:

A. 90⁰ B. 60⁰

C. 45⁰ D. 30⁰

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Đáp án: B

Câu 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1;0). Phép quay tâm O góc quay 45⁰ biến M thành M’ có tọa độ

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Đáp án: D

Ta có OM’ = OM = 1; tứ giác OHM’K là hình vuông đường chéo bằng 1 suy ra cạnh bằng (√2)/2. Chọn đáp án D

Câu 17: Cho hình lục giác ABCDEF, tâm O. mệnh đề nào sau đây sai?

A. phép quay tâm O góc quay 60⁰ biến tam giác BCD thành tam giác ABC.

B. phép quay tâm O góc quay 120⁰ biến tam giác OEC thành tam giác OCA

C. phép quay tâm O góc quay -60⁰, biến tam giác AFD thành tam giác FEC.

D. phép quay tâm O góc quay -120⁰ biến tam giác BCD thành tam giác DEF.

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Đáp án: C

Phép quay tâm O góc quay -60⁰ biến tam giác AFD thành tam gics ABE.

Câu 18: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C. dựng các tam giác đều ABD, BCE về cùng phía đối với đường thẳng AC. Gọi F, G lần lượt là trung điểm của các cạnh AE và DC. Tam giác BFG là:

A. tam giác thường B. tam giác vuông đỉnh B

C. tam giác cân đỉnh B D. tam giác đều

Đáp án: D

Câu 19: Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 60⁰.

a) Phép biến hình nào sau đây biến AB thành BC?

A. Đ₀ B. T_2OC→

C. Q_{(D; 60⁰)} D. Q_{(B; 120⁰)}

b) Phép biến hình nào sau đây không biến A thành C?

A. Đ_BD B. T_2OC→

C. Q_{(B; 120⁰)} D. Q_{(B; 120⁰)}

Đáp án: a - C, b - D

(hình 2)

Chọn đáp án C

Phương án A. Đ₀(AB) = CD

Phương án B. T_2OC→(AB) = CB' với ACB'B là hình bình hành

Phương án D. Q_(B,120⁰)(AB) = A' Bvới A' là điểm đối xứng của D và B.

Góc quay là -120⁰ (thuận chiều kim đồng hồ) thì A biến thành C

Câu 20: Trong mặt phẳng Oxy phép quay tâm K, góc 60⁰ biến M(1;1) thành M’(-1;1). Tọa độ điểm K là:

A. (0;0) B. (0;-√3) C. (0;1-√3) D. (√2;0)

Đáp án: C

Tam giác đều KMM’ có cạnh MM’ = 2 nên đường cao bằng √3.

Suy ra OK = √3-1 ⇒ K(0; 1-√3)

Nhận xét. Phép quay có góc quay bằng ±60⁰ thì tam giác tạo bởi tâm quay, điểm M và ảnh M’ của nó luôn tạo thành một tam giác đều.

Câu 21: Trong mặt phẳng Oxy phép quay Q_{(O; 60⁰)} biến đường thẳng d có phương trình x - 2y = 0 thành đường thẳng d’ có phương trình:

A. x + 2y = 0

B. 2x + y = 0

C. 2x - y = 0

D. x - y + 2 = 0

Đáp án: B

Lấy M(2; 1) thuộc d, phép quay Q_{(O, 90⁰)} biến M(2; 1) thành M’(-1; 2). Tâm quay O(0; 0) thuộc d ⇒ d' đi qua O và M’ có phương trình 2x + y = 0.

Câu 22: trong mặt phẳng Oxy phép quay Q_{(O; 90⁰)} biến đường thẳng d có phương trình: 2x - y + 1 = 0 thành đường thẳng d’ có phương trình.

A. x + 2y - 1 = 0

B. 2x + y + 1 = 0

C. 2x - y + 1 = 0

D. x + 2y + 1 = 0

Đáp án: D

Lấy A(0; 1) và B(-1/2;0) thuộc d, phép quay Q_{(O, 90⁰)} biến A thành A’(-1; 0), biến B thành B’(0; -1/2) phương trình d’ qua A’, B’ là x + 2y + 1 = 0.

Câu 23: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 3)² + y² = 4. Phép quay tâm O(0;0) góc quay 90⁰ biến (C) thành (C’) có phương trình:

A. x² + y² - 6x + 5 = 0

B. x² + y² - 6y + 6 = 0

C. x² + y² + 6x - 6 = 0

D. x² + y² - 6y + 5 = 0

Đáp án: D

Câu 24: Cho một tam giác ABC tâm O. gọi A, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Q_{(0; 120⁰)}(∆ODC) = ∆OFA B. Q_{(0; 120⁰)}(∆AOF) = ∆BOD

C. Q_{(0; 120⁰)}(∆AOB) = ∆AOC D. Q_{(0; 60⁰)}(∆OFE) = ∆ODE

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Đáp án: B

D. Không có trên hình vẽ

Chọn đáp án B

Câu 25: Cho hình vuông ABCD tâm O. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD?

a) phép biến hình nào sau đây biến BE→ thành CF→

A.Q_{(A; 45⁰)} B . Q_{(O; -90⁰)}

C. Q_{(A; 90⁰)} D. Q_{(O; 90⁰)}

b) phép biến hình nào sau đây biến BE→ thành DF→?

A. Q_{(O; 45⁰)} B. Q_{(O; 90⁰)}

C. Q_{(A; -90⁰)} D. Q_{(C; 90⁰)}

Đáp án: a - B, b - D

a) Xét từng điểm: Phép quay tâm O góc quay -90⁰ biến B thành C, E thành F.

Phương án A. Q_{(A, 45⁰)}(B) = B' ≠ C và Q_{(A, 45⁰)}(E) = E' ≠ F(sai cả hai ảnh)

Phương án C. Q_{(A, -90⁰)}(B) = D và Q_{(A, 90⁰)}(E) = E' ≠ F(sai về chiều góc và ảnh của E)

Phương án D. Q_{(O, 90⁰)}(B) = A và Q_{(O, -90⁰)}(E) = F

Câu 26: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm M (-6;1) qua phép quay Q_{(O; 90⁰)} là:

A. M'(-1;-6) B. M'(1;6)

C. M'(-6;-1) D. M'(6;1)

Đáp án: A

Câu 27: Trong mặt phẳng Oxy qua phép quay Q_{(O; 90⁰)} thì M'(2; -3) là ảnh của điểm.

A. M(3;2) B. M(2;3)

C. M(3;-2) D. M(-3;-2)

Đáp án: D

(hình 2) vẽ ảnh của M’ qua phép quay Q_{(O, 90⁰)} là điểm M (- 3; -2)

Câu 28: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;1). Điểm nào sau đây là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay 45⁰.

A.( 0;√2) B. (-1;1) C. (1;0) D. (√2;0)

Đáp án: A

Nhận xét. Hình vuông có cạnh bằng 1 thì đường chéo bằng √2.

Tài liệu có 9 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống

Từ khóa :

Toán 11 Trắc nghiệm Toán 11 phép quay

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Tìm kiếm