Tailieumoi.vn xin giới thiếu tới bạn đọc tài liệu về Hình thang vuông: Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết Hình thang vuông, tài liệu gồm đầy đủ về lý thuyết Hình thang vuông, các dạng bài tập và ví dụ minh họa, giúp các bạn củng cố kiến thức, học tốt môn Toán hơn.

Hình thang vuông: Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết Hình thang vuông

A. Lý thuyết Hình thanh vuông

1. Định nghĩa Hình thang

• Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song

Hình thang ABCD (AB // CD):

AB và CD gọi là các cạnh đáy ( hoặc đáy). AB là đáy nhỏ, CD là đáy lớn.

AD và BC gọi là các cạnh bên.

Gọi AH là đường cao kẻ từ A đến CD. Khi đó, AH là đường cao của hình thang.

2. Định nghĩa Hình thang vuông

Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.

3. Diện tích hình thang vuông

Hình thang vuông có một cạnh bên vuông góc với đáy. Cạnh bên vuông góc với đáy chính là đường cao của hình thang.

Giả sử hình thang ABCD (AB//CD) có 

Khi đó: 

4. Chu vi hình thang vuông

Để tính chu vi hình thang vuông ta áp dụng công thức tính chu vi như thông thường.

P = a + b + c + d

5. Dấu hiệu nhận biết và Tính chất Hình thang vuông

- Một tứ giác có hai cạnh song song là hình thang

- Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông.

- Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên song song và bằng nhau; 

- Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau. 

- Hình thang vuông mang những đặc điểm cơ bản của hình thang như có hai cạnh đáy song song, và ngoài ra hình thang vuông có cạnh vuông góc với hai đáy, tạo nên góc 90 độ.

6. Cách nhận biết hình thang, hình thang vuông

Phương pháp giải. 

Sử dụng: 

• Định nghĩa hình thang:
• Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

ABCD là hình thang  (đáy AB, CD).

• Định nghĩa hình thang vuông:

Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC một tam giác BCD vuông cân tại B. Tứ giác ABDC là hình gì? Tại sao?

Giải

Từ giả thiết tam giác ABC vuông cân ở A nên  , tam giác BCD vuông cân ở B nên  .

  (hai góc so le trong bằng nhau).

Tứ giác ABDC có hai cạnh đối song song nên nó là hình thang. 

Hình thang ABDC lại có  theo giả thiết nên nó là hình thang vuông.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên BC lấy điểm M sao cho CM = CA. Đường thẳng đi qua M và song song với CA cắt AB tại I. Tứ giác ACMI là hình gì?

Giải

Tứ giác ACMI có:  nên là hình thang

Mặt khác   nên ACMI là hình thang vuông.

B. Bài tập Hình thanh vuông

1. Bài tập vận dụng

Dạng 1. Tính số đo góc

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song và tổng bốn góc trong một tứ giác kết hợp với kiến thức đã học về hình thang, hình thang cân, hình thang vuông.

Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có AB // CD, . Tính số đo các góc của hình thang.

Lời giải:

Vì AB // CD nên ta có

 (hai góc trong cùng phía)

Vì AB // CD nên ta có:

Thay vào (*) ta được:

Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD. Biết . Tính các góc của hình thang.

Lời giải

Vì AB // CD ta có:

 (hai góc trong cùng phía)

Mà ABCD là hình thang cân nên ta có:

Dạng 2. Chứng minh hình thang, hình thang cân hình thang vuông

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hình thang, hình thang cân, hình thang vuông.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác. Chứng minh BCDE là hình thang cân.

Lời giải:

Vì BD là đường trung tuyến của tam giác ABC nên D là trung điểm của AC.

Vì CE là đườg trung tuyến của tam giác ABC nên E là trung điểm của AB

Mà AB = AC (do tam gác ABC cân tại A)

Do đó: AD = AE

Xét tam giác AED có

AD = AE ( chứng minh trên)

Do đó: cân tại A 

Ta có:

 (tổng ba góc trong một tam giác)

 (do tam giác AED cân tại A nên  )

Lại có: cân tại A nên:

 (tổng ba góc trong một tam giác)

Từ (1) và (2) => 

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên ED //BC

=> Tứ giác BCDE là hình thang

Mặt khác: cân tại  A nên 

Vậy hình thang BCDE là hình thang cân (do có hai góc kề một đáy bằng nhau).

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A

Vì tam giác ADC là tam giác vuông cân tại D

Do đó:  

Mà  là hai góc so le trong

Do đó: AD // BC 

Xét tứ giác ABCD ta có:

Suy ra ABCD là hình thang vuông.

Dạng 3. Sử dụng các tính chất của hình thang, hình thang cân, hình thang vuông để chứng minh bài toán.

Phương pháp giải: Áp dụng các tính chất về cạnh và góc của hình thang, hình thang cân, hình thang vuông  đã học để giải quyết bài toán

Ví dụ 1: Cho hình thang vuông ABCD có , AB = AD , DC = 2AB và BE vuông góc với CD tại E.

a) Chứng minh: ΔABD = ΔEDB 

b) Chứng minh: ΔBEC vuông cân tại E.

Lời giải:

a) Do ABCD là hình thang nên AB // CD =>  (hai góc so le trong)

Vì BE vuông góc với DC => 

Xét ΔABD và tam giác ΔEDB ta có:

BD chung

Do đó: ΔABD = ΔEDB (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Từ hai tam giác bằng nhau ở câu a ta có:

AB = ED; AD = EB (các cặp cạnh tương ứng)

Mà  

Suy ra E là trung điểm của CD

=> ED = AB = EC

Mà AB = AD (giả thuyết)

Nên ED = AB = EC = AD = EB 

Xét tam giác BEC có

EB = EC

Vậy ΔBEC là tam giác vuông cân tại E

Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD có  AB // CD, AB < CD. Gọi G là giao điểm của AD và BC. Gọi F là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:

a) Tam giác AGB cân tại G;

b) Các tam giác ABD và BAC bằng nhau;

c) FC = FD.

Lời giải:

a) Vì AB // CD nên ta có:

 (hai góc đồng vị)

 (hai góc đồng vị)

Mà  (do ABCD là hình thang cân)

Do đó:  

Xét tam giác AGB có:

Nên tam giác AGB là tam giác cân tại G.

b) Xét hai tam giác ABD và BAC có:

AB chung

AD = BC (do ABCD là hình thang cân)

AC = BD (do ABCD là hình thang cân)

Do đó: ΔABD = ΔBAC (c – c – c)

c) Ta có:

Mà  (ABCD là hình thang cân)

Do đó:  

Xét tam giác FCD có:

Suy ra tam giác FCD cân tại F

 FC = FD (điều phải chứng minh)

2. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho một hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên. Biết đáy nhỏ dài 14 cm, đáy lớn dài 50 cm. Tính diện tích hình thang đó.

Câu 2: Mảnh đất hình thang có đáy lớn là 38 m và đáy bé là 28 m. Mở rộng hai đáy về bên phải của mảnh đất cới đáy lớn thêm 9m và đáy bé thêm 8m thu được mảnh đất hình thang mới có diện tích lớn hơn diện tích mảnh đất ban đầu là 107,2 m². Hãy tính diện tích mảnh đất hình thang ban đầu.

Câu 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ về phái ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

Câu 4. Cho hình thang vuông ABCD có AD = 6 cm; DC = 12 cm; AB = 2/3 DC

a, Tính diện tích hình thang ABCD

b, Khi kéo dài cạnh bên AD và CB thì 2 cạnh bên này cắt nhau tại M. Tính độ dài cạnh AM.

Câu 5: Chứng minh rằng trong một hình thang vuông, hiệu các bình phương của hai đường chéo bằng hiệu các bình phương của hai đáy.

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, Từ H kể HD vuông góc với AC HE vuông góc với AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng HB, HC. Chứng minh tứ giác DEMN là hình thang vuông.

Câu 7: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Cho biết AD = 20, AC =52 và BC = 29. Tính độ dài AB.

Câu 8: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Gọi M là trung điểm của AD. Cho biết MB vuông góc với MC.

a, Chứng minh rằng BC = AB + CD;

b, Vẽ MH vuông góc với BC. Chứng minh rằng tứ giác MBHD là hình thang.

Câu 9: Cho tam giác ABC vuong tại A, lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho AM = 1/2 BC, N là trung điểm cạnh AB. Chứng minh:

a, Tam giác AMB cân

b, Tứ giác MNAC là hình thang vuông