Tailieumoi.vn xin giới thiệu Bài viết Cách giải phương trình bậc 4. Bài viết nêu ra 4 cách giải trương ứng với 4 dạng của phương trình. Mỗi cách giải sẽ có phương pháp giải và bài tập vận dụng giúp bạn đọc hiểu sâu về Cách giải phương trình bậc 4.

Cách giải phương trình bậc 4

Phần 1: Cách giải phương trình trùng phương

A. Phương pháp giải

Giải phương trình trùng phương: Cho phương trình ax⁴ + bx² + c = 0 (a ≠ 0) (1)

Bước 1: Đặt x² = t (ĐK t ≥ 0), ta được phương trình bậc hai ẩn t: at² + bt + c = 0 (a ≠ 0) (2)

Bước 2: Giải phương trình bậc hai ẩn t.

Bước 3: Giải phương trình x² = t để tìm nghiệm .

Bước 4: Kết luận.

Biện luận số nghiệm của phương trình trùng phương

+) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇒ phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.

+) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇒ phương trình (2) có 1 nghiệm dương và một nghiệm t = 0.

+) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇒ phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương.

+) Phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm ⇒ phương trình (2) có nghiệm kép x = 0 hoặc có một nghiệm x = 0 và một nghiệm âm.

+) Phương trình (1) vô nghiệm ⇒ phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm.

B. Các ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Số nghiệm của phương trình x⁴ - 6x² + 8 = 0 là:

Lời giải

Chọn D

Ví dụ 2: Phương trình x⁴ + 2(m + 1)x² + m² = 0 vô nghiệm khi:

Lời giải

Chọn B

Ví dụ 3: Cho phương trình x⁴ - 2(m + 1)x² + 2m + 3 = 0 là tham số. Tìm số tự nhiên m nhỏ nhất để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

Lời giải

Chọn A

C. Bài tập vận dụng

Bài 1: Phương trình x⁴ - 8x² + 4 = 0 có tập nghiệm là

Lời giải:

Đáp án B

Bài 2: Số nghiệm của phương trình (x² - 3x)² - 2x²(1 - 3x) = 8 là:

Lời giải:

Đáp án B

Bài 3: Cho các phương trình

Số nghiệm của các phương trình theo thứ tự là:

Lời giải:

Đáp án D

Bài 4: Chọn kết luận đúng về phương trình  (1).

Lời giải:

Đáp án A

Bài 5: Cho phương trình m²x⁴ + x² - m² - 1 = 0 với m là tham số. Chọn khẳng định sai.

Lời giải:

Đáp án A

Bài 6: Phương trình  có nghiệm là:

Lời giải:

Đáp án

Bài 7: Tìm m để phương trình (m + 1)x⁴ + 5x² - m - 1 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt.

Lời giải:

Đáp án D

Bài 8: Cho phương trình x⁴ - 13x² + m = 0 (1). Với giá trị của m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt, ba nghiệm đó là:

Lời giải:

Đáp án C

Bài 9: Tìm m để phương trình x⁴ + 2mx² + 8 = 0 có bốn nghiệm phân biệt sao cho tổng của bình phương các nghiệm bằng 32

Lời giải:

Đáp án C

Bài 10: Điều kiện của a và b để phương trình x⁴ - 2(a² + b²)x² + (a² - b²)² = 0 có ba nghiệm phân biệt là:

Lời giải:

Đáp án D

Phần 2: Cách giải phương trình bậc bốn dạng ax⁴ + bx³ + cx² ± kbx + k²a = 0

A. Phương pháp giải

Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (1) nên chia hai vế của (1) cho x² ta được

Thay vào phương trình (2) ta có:

Giải phương trình trên tìm t rồi sau đó tìm x

B. Bài tập

Câu 1: Giải phương trình  x⁴ + 4 = 5x(x² – 2)

Giải

Phương trình (1) ⇔ x⁴ + 4 = 5x³-10x ⇔ x⁴ - 5x³ + 10x + 4 = 0

Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (1) nên chia cả hai vế của (1) cho x² ta được:

Vậy phương trình có 4 nghiệm: x = -1, x = 2, x = 2 ± √6

Câu 2: Giải phương trình  x⁴ + 9 = 5x(x² – 3)

Giải

Phương trình (1) ⇔ x⁴ + 9 = 5x³ - 15x ⇔ x⁴ - 5x³ + 15x + 9 = 0

Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (1) nên chia cả hai vế của (1) cho x² ta được

Câu 3: Giải phương trình  x⁴ + 4 = -3x³ – 6x

Giải

Phương trình  x⁴ + 4 = -3x³ – 6x ⇔ x⁴ + 3x³ + 6x + 4 = 0 (1)

Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (1) nên chia cả hai vế của (1) cho x² ta được

(phương trình vô nghiệm vì ∆ = (-1)² – 4.1.2 = -7 < 0)

Câu 4: Giải phương trình  x⁴ + 4x³ – 8x + 4 = 0 (1)

Giải

Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (1) nên chia cả hai vế của (1) cho x² ta được

Câu 5: Giải phương trình  x⁴ + 5x³ + 2x²  – 35x + 49 = 0 (1)

Giải

Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (1) nên chia cả hai vế của (1) cho x² ta được

Thay vào (2) ta được: t² + 5t + 16 = 0

Phương trình trên có ∆ = 5² – 4.1.16 = 25 – 64 = -39 < 0 nên phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình (1) vô nghiệm

Phần 3: Cách giải phương trình bậc bốn bằng cách đặt t (dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0)

A. Phương pháp giải

+) B1: Đặt t = (x + a)(x + b) ⇒ t = x² + (a + b)x + ab

⇒ t - ab = x² + (a + b)x

+) B2: Biến đổi biểu thức (x + c)(x + d) theo biến t

Ta có: (x + c)(x + d) = x² + (c + d)x + cd = x² + (a + b)x + cd = t – ab + cd

+) B3: Biến đổi phương trình (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m theo biến t

t(t – ab + cd) = m ⇔ t² + (– ab + cd)t – m = 0(*)

Giải phương trình (*) tìm t sau đó tìm x

B. Bài tập

Câu 1: Giải phương trình  x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24 (1)

Giải

Phương trình (1) ⇔ x(x + 3)(x + 1)(x + 2) = 24

Đặt t = x(x + 3) = x² + 3x

(x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2 = t + 2

Khi đó phương trình trở thành:

Với t = -6 ⇒ x² + 3x = -6 ⇔x² + 3x + 6 = 0 (phương trình vô nghiệm vì ∆ < 0)

Với t = 4 ⇒ x² + 3x = 4 ⇔x² + 3x - 4 = 0. Phương trình có a + b + c = 0 nên có 2 nghiệm x = 1, x = -4

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 1, x = -4

Câu 2: Giải phương trình  (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = 4 (1)

Giải

Phương trình (1) ⇔ (x + 4)(x + 8)(x + 5)(x + 7) = 4

Đặt t = (x + 4)(x + 8) = x² + 12x + 32

⇒ (x + 5)(x + 7) = x² + 12x + 35 = t + 3

Khi đó phương trình trở thành:

Với t = 1 ⇒ x² + 12x + 32 = 1 ⇔ x² + 12x + 31 = 0. Phương trình có ∆ꞌ = 36 – 31 = 5 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt: x = -6 ± √5

Với t = -4 ⇒ x² + 12x + 32 = -4 ⇔ x² + 12x + 36 = 0 ⇔(x + 6)² = 0 ⇔ x = -6

Vậy phương trình có 3 nghiệm: x = -6, x = -6 ± √5

Câu 3: Giải phương trình  (x + 5)(x + 6)(x - 4)(x - 5) = -21 (1)

Giải

Phương trình (1) ⇔ (x + 5)(x - 4)(x + 6)(x - 5) = -21

Đặt t = (x -4)(x + 5) = x² + x - 20

⇒ (x + 6)(x - 5) = x² + x - 30 = t - 10

Khi đó phương trình trở thành:

Với t = 3 ⇒ x² + x-20 = 3 ⇔ x² + x - 23 = 0. Phương trình có ∆ = 1² + 4.1.23 = 93 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

Với t = 7 ⇒ x² + x-20 = 7 ⇔ x² + x - 27 = 0. Phương trình có ∆ = 1² + 4.1.27 = 109 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

Vậy phương trình có 4 nghiệm: 

Câu 4: Giải phương trình  (x +5)(x + 4)(x - 1)(x - 2) = 112 (1)

Giải

Phương trình (1) ⇔ (x + 5)(x - 2)(x + 4)(x - 1) = 112

Đặt t = (x - 2)(x + 5) = x² + 3x - 10

⇒ (x + 4)(x - 1) = x² + 3x - 4 = t + 6

Khi đó phương trình trở thành:

Với t = 8 ⇒ x² + 3x - 10 = 8 ⇔ x² + 3x - 18 = 0. Phương trình có ∆ = 3² + 4.1.18 = 81 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:  x = -6, x = 3

Với t = -14 ⇒ x² + 3x - 10 = -14 ⇔ x² + 3x + 4 = 0. Phương trình có ∆ = 3² - 4.1.4 = -7 < 0 nên phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = -6, x = 3

Câu 5: Giải phương trình  (x +1)(x + 3)(x + 6)(x + 4) = -8 (1)

Giải

Phương trình (1) ⇔ (x +1)(x + 6)(x + 4)(x + 3) = -8

Đặt t = (x + 1)(x + 6) = x² + 7x + 6

⇒ (x + 4)(x + 3) = x² + 7x + 12 = t + 6

Khi đó phương trình trở thành:

Với t = -2 ⇒ x² + 7x + 6 = -2 ⇔ x² + 7x + 8 = 0. Phương trình có ∆ = 7² - 4.1.8 = 17 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

Với t = -4 ⇒ x² + 7x + 6 = -4 ⇔ x² + 7x + 10 = 0. Phương trình có ∆ = 7² - 4.1.10 = 9 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = -2, x = -5

Vậy phương trình có 4 nghiệm: 

Phần 4: Cách giải phương trình bậc bốn bằng cách đặt t (dạng (x + a)⁴ + (x + b)⁴ = c)

A. Phương pháp giải

- Thay (*) và (**) vào phương trình biến đổi đưa về phương trình trùng phương

B. Bài tập

Câu 1: Giải phương trình  (x + 6)⁴ + (x – 4)⁴ = 82 (1)

Giải

Đặt . Thay (*) vào phương trình (1) ta được

Đặt a = t² (a  ≥ 0). Khi đó phương trình trở thành:  2a² + 300a + 1168 = 0

 (không thỏa mãn điều kiện a  ≥ 0)

Vậy phương trình vô nghiệm

Câu 2: Giải phương trình  (x + 3)⁴ + (x + 5)⁴ = 2 (1)

Giải

Đặt . Thay (*) vào phương trình (1) ta được

 (không thỏa mãn điều kiện a  ≥ 0)

Với t² = 0 ⇒ t = 0 ⇒ x + 4 = 0 ⇔ x = -4

Với t² = -6 (phương trình vô nghiệm)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất  x = -4

Câu 3: Giải phương trình  (x - 6)⁴ + (x – 2)⁴ = -224 (1)

Giải

Đặt . Thay (*) vào phương trình (1) ta được

 (không thỏa mãn điều kiện a  ≥ 0)

Đặt a = t² (a  ≥ 0). Khi đó phương trình trở thành:  2a² + 48a + 256 = 0

⇔ a² + 24a + 128 = 0

 (không thỏa mãn điều kiện a  ≥ 0)

Vậy phương trình vô nghiệm

Câu 4: Giải phương trình  (x + 1)⁴ + (x + 3)⁴ = 2 (1)

Giải

Đặt . Thay (*) vào phương trình (1) ta được

 (không thỏa mãn điều kiện a  ≥ 0)

Với t² = 0 ⇒ t = 0 ⇒ x + 2 = 0 ⇔ x = -2

Với t² = -6 (phương trình vô nghiệm)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất  x = -2

Câu 5: Giải phương trình  (x - 1)⁴ + (x – 7)⁴ = 0 (1)

Giải

Đặt . Thay (*) vào phương trình (1) ta được

 (không thỏa mãn điều kiện a  ≥ 0)

Đặt a = t² (a  ≥ 0). Khi đó phương trình trở thành:  2a² + 108a + 162 = 0

⇔ a² + 54a + 81 = 0

 (không thỏa mãn điều kiện a  ≥ 0)

Vậy phương trình vô nghiệm.