Góc giữa 2 mặt phẳng là gì? Cách xác định và bài tập vận dụng

Quý Lê Xuân Ngày: 08-03-2024 Tổng hợp kiến thức

Tải xuống 4 11.1 K 44

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Góc giữa hai mặt phẳng Toán lớp 12, tài liệu bao gồm: Định nghĩa, cách xác định góc và bài tập có đáp án (có lời giải), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi THPT môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

1. Định nghĩa

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Góc giữa 2 mặt phẳng là gì? Cách xác định, phương pháp giải và bài tập (ảnh 1)

2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

TH1: Hai mặt phẳng $(P), (Q)$ song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng $0^{0}$ .

TH2: Hai mặt phẳng $(P), (Q)$ không song song hoặc trùng nhau.

Cách 1:

+) Dựng hai đường thẳng $n, p$ lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ .

+) Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là góc giữa hai đường thẳng $n, p$ .

Góc giữa 2 mặt phẳng là gì? Cách xác định, phương pháp giải và bài tập (ảnh 2)

Cách 2:

+) Xác định giao tuyến $Δ$ của hai mặt phẳng $(P), (Q)$ .

+) Tìm một mặt phẳng $(R)$ vuông góc $Δ$ và cắt và hai mặt phẳng theo các giao tuyến $a, b$ .

+) Góc giữa hai mặt phẳng $(P), (Q)$ là góc giữa $a$ và $b$ .

Góc giữa 2 mặt phẳng là gì? Cách xác định, phương pháp giải và bài tập (ảnh 3)

Diện tích hình chiếu của đa giác

Gọi $S$ là diện tích của đa giác $(H)$ trong $(P), S^{'}$ là diện tích hình chiếu $(H^{'})$ của $(H)$ trên mặt phẳng $(Q)$ và $α = ((P), (Q))$ . Khi đó:

$S^{'} = S . \cos α$

Ví dụ: Cho tứ diện $A B C D$ có $Δ B C D$ vuông cân tại $B$ , $A B ⊥ (B C D), B C = B D = a$ , góc giữa $(A C D)$ và $(B C D)$ là $30^{0}$ . Tính diện tích toàn phần của tứ diện $A B C D$ .

Giải:

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng $(A C D)$ và $(B C D)$ :

Ta có: $Δ A B C = Δ A B C (c . g . c) \Rightarrow A C = A D$ (cạnh tương ứng)

Gọi $E$ là trung điểm của $C D \Rightarrow A E ⊥ C D, B E ⊥ C D$ .

Ta có: ${\begin{cases} (A C D) \cap (B C D) = C D \\ A E ⊥ C D \\ B E ⊥ C D \end{cases}$ nên góc giữa hai mặt phẳng $(A C D)$ và $(B C D)$ là góc giữa hai đường thẳng $A E, B E$ .

Do đó $\hat{A E B} = 30^{0}$ .

- Tính diện tích toàn phần của tứ diện:

Tam giác vuông cân $B C E$ có:

$C D = \sqrt{B C^{2} + B D^{2}} = a \sqrt{2} \Rightarrow B E = \frac{1}{2} C D = \frac{1}{2} . a \sqrt{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Tam giác vuông $A B E$ có $A B = B E . \tan 30^{0} = \frac{a \sqrt{2}}{2} . \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a \sqrt{6}}{6}$

Do đó:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} B A . B C = \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{6}}{6} . a = \frac{a^{2} \sqrt{6}}{12}$

$S_{A B D} = \frac{1}{2} B A . B D = \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{6}}{6} . a = \frac{a^{2} \sqrt{6}}{12}$

$S_{B C D} = \frac{1}{2} B C . B D = \frac{a^{2}}{2}$

$S_{A C D} = \frac{S_{B C D}}{\cos 30^{0}} = \frac{1}{2} a^{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{3}$

Vậy diện tích toàn phần của tứ diện là:

$S = S_{A B C} + S_{A B D} + S_{B C D} + S_{A C D} = \frac{a^{2} \sqrt{6}}{12} + \frac{a^{2} \sqrt{6}}{12} + \frac{a^{2} \sqrt{3}}{3} + \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{2} (\sqrt{6} + 2 \sqrt{3} + 3)}{6}$

3. Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có $S A ⊥ (A B C D)$ , đáy là hình chữ nhật ABCD với $A B = a; A D = a \sqrt{3} .$ Biết rằng mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc $60 ° .$

a) Tính cosin góc tạo bởi mặt phẳng (SBC) và mặt đáy (ABCD).

b) Tính tan góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt đáy (ABCD).

Lời giải

a) Do $\{\begin{cases} C D ⊥ S A \\ C D ⊥ D \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (S D A)$ do đó góc giữa mặt phẳng (SCD) và đáy là $\hat{S D A} = 60 °$

Suy ra $S A = A D \tan 60 ° = 3 a .$

Do $\{\begin{cases} B C ⊥ S A \\ B C ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S B A) \Rightarrow \hat{((S B C); (A B C))} = \hat{S B A}$

Mặt khác $\cos \hat{S B A} = \frac{A B}{S B} = \frac{A B}{\sqrt{S A^{2} + A B^{2}}} = \frac{a}{\sqrt{9 a^{2} + a^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{10}} .$

Vậy $\cos \hat{((S B C); (A B C))} = \frac{1}{\sqrt{10}} .$

b) Dựng $A H ⊥ B D \Rightarrow B D ⊥ (S H A) \Rightarrow \hat{((A B D); (A B C))} = \hat{S H A}$

Lại có: $A H = \frac{A B . A D}{\sqrt{A B^{2} + A D^{2}}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Suy ra $\tan \hat{((S B D); (A B C D))} = \tan \hat{S H A} = \frac{S A}{A H} = 2 \sqrt{3} .$

Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có $A B = a \sqrt{3}; B C = a$ , tam giác SAC là tam giác cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết đường thẳng SB tạo với đáy một góc $60 °$ . Tính góc $\hat{((S B C); (A B C))} .$

Lời giải

Gọi H là trung điểm của AC, do tam giác SAC cân nên ta có:

$S H ⊥ A C .$ Mặt khác $(S A C) ⊥ (A B C D)$ nên $S H ⊥ (A B C) .$

Khi đó: $\hat{(S B; (A B C))} = \hat{S B H} = 60 ° .$

Ta có: $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = 2 a \Rightarrow B H = \frac{1}{2} A C = a .$

Khi đó: $S H = a \tan 60 ° = a \sqrt{3} .$

Dựng $H K ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (S H K) .$

$\Rightarrow \hat{S K H} = \hat{((S B C); (A B C))}$ , trong đó ta có: $H K = \frac{A B}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2};$

$S H = a \sqrt{3} \Rightarrow \cos \hat{S K H} = \frac{1}{\sqrt{5}} .$

Vậy $\hat{((S B C); (A B C))} = φ$ với $\cos φ = \frac{1}{\sqrt{5}} .$

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có \[AB = 2a\] và góc \[\widehat {BAD} = 120^\circ \]. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với giao điểm I của hai đường chéo và \[SI = \frac{a}{2}\]. Tính góc tạo bởi mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải

Bài tập về Góc giữa hai mặt phẳng - Góc giữa mặt bên và mặt đáy có đáp án (ảnh 1)

Gọi \[\varphi \] là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB.

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}AB \bot HI\\AB \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHI} \right).\]

Do đó \[\varphi = \widehat {\left( {SH;IH} \right)} = \widehat {SHI}.\]

Do \[\widehat {BAD} = 120^\circ \Rightarrow \widehat {BAI} = 60^\circ \]

\[ \Rightarrow \Delta ABC\]đều cạnh 2a nên

\[IA = a \Rightarrow IH = IA\sin \widehat {IAB} = IA\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]

Do đó \[\tan \varphi = \frac{{SI}}{{IH}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \varphi = 30^\circ .\]

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có \[AD = 2a\] và \[AB = BC = a\]. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng (SBC) tạo với đáy (ABCD) một góc 60°. Tính tan góc tạo bởi mặt phẳng (SCD) và (SBD) với mặt phẳng (ABCD).

Lời giải

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SBA} \right).\]

Khi đó: \[\widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {SBA} = 60^\circ \]

\[ \Rightarrow SA = AB\tan 60^\circ = a\sqrt 3 .\]

Gọi I là trung điểm của AD \[ \Rightarrow \] ABCI là hình vuông cạnh a

\[ \Rightarrow CI = a = \frac{1}{2}AD \Rightarrow \Delta ACD\] vuông tại C.

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SCA} \right).\]

Do đó \[\widehat {\left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;AC} \right)} = \widehat {SCA}\]

và \[\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }} = \sqrt {\frac{3}{2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}.\]

Dựng \[AE \bot BD\], lại có

\[\begin{array}{l}BD \bot SA \Rightarrow BD \bot \left( {SEA} \right)\\ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {SEA}.\end{array}\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}AE = \frac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\\ \Rightarrow \tan \widehat {SEA} = \frac{{SA}}{{AE}} = \frac{{\sqrt {15} }}{2}.\end{array}\]

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có đáy là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của \[A'\] lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng \[A'C\] và mặt đáy (ABC) bằng \[60^\circ \]. Tính cosin góc giữa mặt phẳng \[\left( {A'AC} \right)\] và mặt đáy (ABC).

Lời giải

Gọi H là trung điểm cạnh AB ta có: \[A'H \bot \left( {ABC} \right)\]

Do đó \[\widehat {A'CH} = 60^\circ .\] Lại có: \[CH = AC\sin 60^\circ = a\sqrt 3 \]

\[ \Rightarrow A'H = CH\tan 60^\circ = 3a.\]

Dựng \[HK \bot AC\] ta có \[A'H \bot AC \Rightarrow \left( {A'HK} \right) \bot AC.\]

Khi đó: \[HK = HA\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]

Ta có: \[\cos \widehat {A'KH} = \frac{{HK}}{{\sqrt {H{K^2} + A'{H^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {13} }} > 0.\]

Do vậy \[\cos \widehat {\left( {\left( {A'AC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \frac{1}{{\sqrt {13} }}.\]

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC). Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC . Góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC) là :

A. ∠CSF B. ∠BSF C. ∠BSE D. ∠CSE

Lời giải:

Cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian cực hay

Ta có: E và F lần lượt là trung điểm của AB và AC nên EF là đường trung bình của tam giác: EF // BC

Cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian cực hay

Góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC) là : ∠BSE

Cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian cực hay

Chọn C

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA ⊥ (ABCD); SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau góc 60°.

A. x = 3a/2 B. x = a/2 C. x = a D. x = 2a

Lời giải:

Cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian cực hay

* Trong (SAB) dựng AI ⊥ SB ta chứng minh được AI ⊥ (SBC) (1)

Trong (SAD) dựng AJ ⊥ SD ta chứng minh được AJ ⊥ (SCD) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ góc ((SBC), (SCD)) = (AI, AJ) = ∠IAJ

* Ta chứng minh được AI = AJ. Do đó, nếu góc ∠IAJ = 60° thì ΔAIJ đều ⇒ AI = AJ = IJ

Tam giác SAB vuông tại A có AI là đường cao

Cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian cực hay

Chọn C

Tài liệu có 4 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống

Từ khóa :

Đánh giá

1 đánh giá

Đánh giá

Tìm kiếm