Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Góc giữa hai mặt phẳng Toán lớp 12, tài liệu bao gồm: Định nghĩa, cách xác định góc và bài tập có đáp án (có lời giải), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi THPT môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.
Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
1. Định nghĩa
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng
TH1: Hai mặt phẳng (P),(Q) song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 00.
TH2: Hai mặt phẳng (P),(Q) không song song hoặc trùng nhau.
Cách 1:
+) Dựng hai đường thẳng n,p lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
+) Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng n,p.
Cách 2:
+) Xác định giao tuyến Δ của hai mặt phẳng (P),(Q).
+) Tìm một mặt phẳng (R) vuông góc Δ và cắt và hai mặt phẳng theo các giao tuyến a,b.
+) Góc giữa hai mặt phẳng (P),(Q) là góc giữa a và b.
Diện tích hình chiếu của đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P),S′ là diện tích hình chiếu (H′) của (H) trên mặt phẳng (Q) và α=((P),(Q)). Khi đó:
S′=S.cosα
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có ΔBCD vuông cân tại B, AB⊥(BCD),BC=BD=a, góc giữa (ACD) và (BCD) là 300. Tính diện tích toàn phần của tứ diện ABCD.
Giải:
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD):
Ta có: ΔABC=ΔABC(c.g.c)⇒AC=AD (cạnh tương ứng)
Gọi E là trung điểm của CD⇒AE⊥CD,BE⊥CD.
Ta có: {(ACD)∩(BCD)=CDAE⊥CDBE⊥CD nên góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là góc giữa hai đường thẳng AE,BE.
Do đó ^AEB=300.
- Tính diện tích toàn phần của tứ diện:
Tam giác vuông cân BCE có:
CD=√BC2+BD2=a√2⇒BE=12CD=12.a√2=a√22
Tam giác vuông ABE có AB=BE.tan300=a√22.√33=a√66
Do đó:
SABC=12BA.BC=12.a√66.a=a2√612
SABD=12BA.BD=12.a√66.a=a2√612
SBCD=12BC.BD=a22
SACD=SBCDcos300=12a2:√32=a2√3=a2√33
Vậy diện tích toàn phần của tứ diện là:
S=SABC+SABD+SBCD+SACD=a2√612+a2√612+a2√33+a22=a2(√6+2√3+3)6
3. Bài tập minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD), đáy là hình chữ nhật ABCD với AB=a;AD=a√3. Biết rằng mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc 60°
a) Tính cosin góc tạo bởi mặt phẳng (SBC) và mặt đáy (ABCD).
b) Tính tan góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt đáy (ABCD).
Lời giải
a) Do do đó góc giữa mặt phẳng (SCD) và đáy là
Suy ra
Do
Mặt khác
Vậy
b) Dựng
Lại có:
Suy ra
Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có , tam giác SAC là tam giác cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết đường thẳng SB tạo với đáy một góc . Tính góc |
Lời giải
Gọi H là trung điểm của AC, do tam giác SAC cân nên ta có:
Mặt khác nên
Khi đó:
Ta có:
Khi đó:
Dựng
, trong đó ta có:
Vậy với
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có AB = 2a và góc \widehat {BAD} = 120^\circ . Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với giao điểm I của hai đường chéo và SI = \frac{a}{2}. Tính góc tạo bởi mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD).
Lời giải
Gọi \varphi là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB.
Ta có: \left\{ \begin{array}{l}AB \bot HI\\AB \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHI} \right).
Do đó \varphi = \widehat {\left( {SH;IH} \right)} = \widehat {SHI}.
Do \widehat {BAD} = 120^\circ \Rightarrow \widehat {BAI} = 60^\circ
\Rightarrow \Delta ABCđều cạnh 2a nên
IA = a \Rightarrow IH = IA\sin \widehat {IAB} = IA\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.
Do đó \tan \varphi = \frac{{SI}}{{IH}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \varphi = 30^\circ .
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AD = 2a và AB = BC = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng (SBC) tạo với đáy (ABCD) một góc 60°. Tính tan góc tạo bởi mặt phẳng (SCD) và (SBD) với mặt phẳng (ABCD).
Lời giải
Ta có: \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SBA} \right).
Khi đó: \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {SBA} = 60^\circ
\Rightarrow SA = AB\tan 60^\circ = a\sqrt 3 .
Gọi I là trung điểm của AD \Rightarrow ABCI là hình vuông cạnh a
\Rightarrow CI = a = \frac{1}{2}AD \Rightarrow \Delta ACD vuông tại C.
Ta có: \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SCA} \right).
Do đó \widehat {\left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;AC} \right)} = \widehat {SCA}
và \tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }} = \sqrt {\frac{3}{2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}.
Dựng AE \bot BD, lại có
\begin{array}{l}BD \bot SA \Rightarrow BD \bot \left( {SEA} \right)\\ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {SEA}.\end{array}
Ta có:
\begin{array}{l}AE = \frac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\\ \Rightarrow \tan \widehat {SEA} = \frac{{SA}}{{AE}} = \frac{{\sqrt {15} }}{2}.\end{array}
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A'C và mặt đáy (ABC) bằng 60^\circ . Tính cosin góc giữa mặt phẳng \left( {A'AC} \right) và mặt đáy (ABC).
Lời giải
Gọi H là trung điểm cạnh AB ta có: A'H \bot \left( {ABC} \right)
Do đó \widehat {A'CH} = 60^\circ . Lại có: CH = AC\sin 60^\circ = a\sqrt 3
\Rightarrow A'H = CH\tan 60^\circ = 3a.
Dựng HK \bot AC ta có A'H \bot AC \Rightarrow \left( {A'HK} \right) \bot AC.
Khi đó: HK = HA\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.
Ta có: \cos \widehat {A'KH} = \frac{{HK}}{{\sqrt {H{K^2} + A'{H^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {13} }} > 0.
Do vậy \cos \widehat {\left( {\left( {A'AC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \frac{1}{{\sqrt {13} }}.
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC). Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC . Góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC) là :
A. ∠CSF B. ∠BSF C. ∠BSE D. ∠CSE
Lời giải:
Ta có: E và F lần lượt là trung điểm của AB và AC nên EF là đường trung bình của tam giác: EF // BC
Góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC) là : ∠BSE
Chọn C
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA ⊥ (ABCD); SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau góc 60°.
A. x = 3a/2 B. x = a/2 C. x = a D. x = 2a
Lời giải:
* Trong (SAB) dựng AI ⊥ SB ta chứng minh được AI ⊥ (SBC) (1)
Trong (SAD) dựng AJ ⊥ SD ta chứng minh được AJ ⊥ (SCD) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ góc ((SBC), (SCD)) = (AI, AJ) = ∠IAJ
* Ta chứng minh được AI = AJ. Do đó, nếu góc ∠IAJ = 60° thì ΔAIJ đều ⇒ AI = AJ = IJ
Tam giác SAB vuông tại A có AI là đường cao
Chọn C