Số phức là gì? Lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp

Hoài Phạm Thị Thu Ngày: 08-03-2024 Tổng hợp kiến thức

Tải xuống 48 5.5 K 56

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu bài tập Số phức là gì? Lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp, tài liệu bao gồm 7 dạng bài tập Số phức đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và bài tập có đáp án, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Số phức là gì? Lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp

1. Khái niệm số phức

· Tập hợp số phức: C

· Số phức (dạng đại số) : $z = a + b i$

(a, b, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i² = –1)

· z là số thực $\Leftrightarrow$ phần ảo của z bằng 0 (b = 0)

z là thuần ảo $\Leftrightarrow$ phần thực của z bằng 0 (a = 0)

Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

Hai số phức bằng nhau: $a + b i = a + b i \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = a^{'} \\ b = b^{'} \end{cases} (a, b, a^{'}, b^{'} \in R)$

Chú ý: $i^{4 k} = 1; i^{4 k + 1} = i; i^{4 k + 2} = - 1; i^{4 k + 3} = - i$

2. Biểu diễn hình học:

Số phức z = a + bi (a, b được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi trong mp(Oxy) (mp phức)

3. Cộng và trừ số phức:

· $(a + b i) + (a + b i) = (a + a) + (b + b) i$ $(a + b i) - (a + b i) = (a - a) + (b - b) i$ ·

· Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi

· $\vec{u}$ biểu diễn z, $\vec{u'}$ biểu diễn z' thì $\vec{u} + {\vec{u}}^{'}$ biểu diễn z + z’ và $\vec{u} - {\vec{u}}^{'}$ biểu diễn z – z’.

4. Nhân hai số phức:

· $(a + b i) (a^{'} + b^{'} i) = (a a - - b b) + (a b + b a) i$

· $(a + b i) = k a + k b i (k \in R)$

5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là $\bar{z} = a - b i$

$\bar{\bar{z}} = z; \bar{z \pm z^{'}} = \bar{z} \pm \bar{z^{'}}; \bar{z . z^{'}} = \bar{z} . \bar{z^{'}}; \overset{}{(\bar{\frac{z_{1}}{z_{2}}})} = \frac{{\bar{z}}_{1}}{{\bar{z}}_{2}}$ $. \bar{z} = a^{2} + b^{2}$

z là số thực $\Leftrightarrow z = \bar{z}$ ; z là số ảo $\Leftrightarrow z = - \bar{z}$

6. Môđun của số phức: z = a + bi

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{z \bar{z}} = | \vec{O M} |$

$| z | \geq 0, \forall z \in C, | z | = 0 \Leftrightarrow z = 0$

$| z . z^{'} | = | z | . | z^{'} |$ $| \frac{z}{z^{'}} | = \frac{| z |}{| z^{'} |}$ $| | z | - | z^{'} | | \leq | z \pm z^{'} | \leq | z | + | z^{'} |$

7. Bài tập tự luyện

Bài 1: Hai số phức z₁ = x - 2i, z₂2 + yi (x, y ∈ R) là liên hợp của nhau khi

Lời giải:

Ta có z₁− = x + 2i. Do đó, hai số phức đã cho gọi là liên hợp của nhau khi và chỉ khi

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Vậy x= 2, y = 2.

Bài 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thòa mãn |z| = |1 + i| là

Lời giải:

Ta có |1 + i| = $\sqrt{(1 + 1)} = \sqrt{2}$ . Gọi M là điểm biểu diễn của z ta có |z| = OM.

Do đó: |z| = |1 + i| ⇔ OM = $\sqrt{2}$

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O, bán kính R= $\sqrt{2}$ .

Bài 3: Phần thực của số phức z = -i là

Lời giải:

Ta có: z = -i = 0 - i nên phần thực của số phức z = -i là 0

Bài 4: Phần ảo của số phức z = -1 là

Lời giải:

Ta có: z= -1 = -1 + 0.i nên phần ảo của số phức z = -1 là 0

Bài 5: Số phức liên hợp của số phức z = 1 + i là

Lời giải:

Số phức liên hợp của số phức z = 1 + i là z− = 1 - i

Bài 6: Cho z = 2i -1. Phần thực và phần ảo của z− là

Lời giải:

Ta có z = 2i - 1 = -1 + 2i ⇔ z− = -1 - 2i. Vậy phần thực của z− là -1 và phần ảo của z− là -2.

Bài 7: Cho số phức z = 2 – 2i. Tìm khẳng định sai.

A. Phần thực của z là: 2.

B. Phần ảo của z là: -2.

C. Số phức liên hợp của z là z− = -2 + 2i.

D. Môđun của z là

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Lời giải:

Số phức liên hợp của z là z− = 2 + 2i nên khẳng định C là sai.

Bài 8: Cho số phức z = -1 + 3i. Phần thực, phần ảo của z− là?

Lời giải:

Ta có z = -1 + 3i => z− = -1 - 3i

Vậy phần thực và phần ảo của z− là -1 và -3.

Bài 9: Môđun của số phức z thỏa mãn z− = 8 - 6i là

Lời giải:

Ta có

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Bài 10: Tìm các số thực x, y sao cho (x – 2y) + (x + y + 4).i = (2x + y) + 2yi.

Lời giải:

Ta có (x – 2y) + (x + y + 4).i = (2x + y) + 2yi.

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Vậy x = -3, y = 1.

Bài 11: Môđun của số phức z = -3 + 4i là

A. 5

B. -3

C. 4

D. 7

Lời giải:

Ta có: z = -3 + 4i

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Bài 12: Môđun của số phức z = 2 - $\sqrt{3}$ i là

A. $\sqrt{7}$

B. 2 + $\sqrt{3}$

C. 2 - $\sqrt{3}$

D. 7

Lời giải:

Ta có: z = 2 - $\sqrt{3}$ i

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Bài 13: Số phức z = 1 - 2i có điểm biểu diễn là

A. M (1; 2)

B. M (1; -2)

C. M (-1; 2)

D. M (-1; -2)

Lời giải:

Số phức z = 1 - 2i có điểm biểu diễn là M(1; -2).

Bài 14: Hai điểm biểu diễn hai số phức liên hợp z = 1 + i và z− = 1 - i đối xứng nhau qua

A. Trục tung

B. Trục hoành

C. Gốc tọa độ

D. Điểm I (1; -1)

Lời giải:

Hai điểm biểu diễn của z = 1 + i và z− = 1 - i là M(1; 1) và N(1; -1) đối xứng với nhau qua trục Ox.

Bài 15: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z| = 2 là

A. Hai đường thẳng

B. Đường tròn bán kính bằng 2

C. Đường tròn bán kính bằng 4

D. Hình tròn bán kính bằng 2.

Lời giải:

Gọi M là diểm biểu diễn của z. Ta có: |z| = 2 ⇔ OM = 2

Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm là gốc tọa độ O và bán kính R = 2.

Bài 16: Gọi A, B là các điểm biểu diễn của các số phức z₁ = -1 + 2i, z₂ = 2 + 3i . Khi đó, độ dài đoạn thẳng AB là

A. $\sqrt{26}$

B. $\sqrt{5} + \sqrt{13}$

C. $\sqrt{10}$

D. 10

Lời giải:

Ta có: A(-1;2), B(2,3). Do đó:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Bài 17: Cho số phức z = 2 – 2i. Tìm khẳng định sai.

A. Phần thực của z là: 2.

B. Phần ảo của z là: -2.

C. Số phức liên hợp của z là z− = -2 + 2i.

D. Môđun của z là

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Lời giải:

Số phức liên hợp của z là z− = 2 + 2i nên khẳng định C là sai.

Chọn đáp án C.

Bài 18: Cho số phức z = -1 + 3i. Phần thực, phần ảo của z− là

A. -1 và 3

B. -1 và -3

C. 1 và -3

D. -1 và -3i.

Lời giải:

Ta có z = -1 + 3i => z− = -1 - 3i

Vậy phần thực và phần ảo của z− là -1 và -3.

Chọn đáp án B.

Bài 19: Môđun của số phức z thỏa mãn z− = 8 - 6i là

A. 2

B. 10

C. 14

D. 2 $\sqrt{7}$

Lời giải:

Ta có

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Chọn đáp án B.

Bài 20: Tìm các số thực x, y sao cho (x – 2y) + (x + y + 4).i = (2x + y) + 2yi.

A. x = 3, y = 1

B. x = 3, y = -1

C. x = -3, y = -1

D. x = -3, y = 1

Lời giải:

Ta có (x – 2y) + (x + y + 4).i = (2x + y) + 2yi.

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Vậy x = -3, y = 1.

Chọn đáp án D.

Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)

Dạng 1: Cộng, trừ số phức

1. Phương pháp giải

Cho hai số phức z₁ = a + bi và z₂ = c + di thì:

• Phép cộng số phức: z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i

• Phép trừ số phức: z₁ – z₂ = ( a- c) + ( b – d) i

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai số phức z₁ = 1 + 10i và z₂ = 9 – 2i. Số phức z = z₁ + z₂ có z₁ có phần thực là:

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14

Lời giải:

Ta có:
z = z₁ + z₂ = (1 + 10i) + ( 9 – 2i) = 10 + 8i.

Do đó, phần thực của số phức z là 10.

Đáp án: B

Ví dụ 2:Hãy tính số phức z. Biết rằng: z = 10i – ( 2 + 2i).i

A. z = 2 + 8i B. z = 8 - 2i

C. z = 8 + 2i D. z = 2 - 8i

Lời giải:

Ta có z = 10i - (2 + 2i).i = 10i – 2i + 2 = 2 + 8i

Đáp án: A

Ví dụ 3: Cho hai số phức z = -2 + 3yi; z’ = ( x + 1)- 4i với x,y ∈ R . Tìm x; y để z + i= z’ + 2

A. x = -5; y = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) B. x = 5; y = 2

C. x = 2; y = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) D. x = ; y = -2

Lời giải:

Để z + i = z’ + 2 ⇔ - 2 + 3yi + i = ( x + 1) – 4i + 2

⇔ - 2 + (3y + 1).i = ( x + 3)- 4i

Do đó ta có hệ phương trình :
Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) ⇔

Đáp án: A

Ví dụ 4: Cho z₁ = a + 8i ,z₂ = 6 – 3i và z₃ = 10 + bi ( a,b ∈ R ). Tìm a, b để z₁ + z₂ = z₃

A. a = 2; b = 5 B. a = 1; b = -5

C. a = 4; b = 5 D. a = 3; b = 1

Lời giải:

Ta có: z₁ + z₂ = z₃nên (a + 8i) + ( 6 – 3i) =10 + bi

⇔ ( a + 6) + 5i = 10 + bi

⇔ Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) ⇔

Vậy a = 4; b= 5.

Đáp án: C

Ví dụ 5: Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo?

A. (√2 + i) - (1 + √2i) B. ( 8 + 2i) + (- 8 + 2i)

C. ( - 3 + i) – ( 3 - i) D. (10 + 3i) – ( -10 – 3i)

Lời giải:

Ta xét các phương án:

* (√2 + i) - (1 + √2i)= (√2 - 1) - (1 - √2) không là số thuần ảo.

* (8 + 2i) + (- 8 + 2i) = 4i là số thuần ảo.

* (-3 + i) – (3- i) = - 3 + i – 3 + i= - 6 + 2i không là số thuần ảo.

* (10 + 3i) – ( -10 – 3i) = 10 + 3i + 10 + 3i = 20 + 6i không là số thuần ảo.

Đáp án: B

Dạng 2: Nhân, chia hai số phức

1. Phương pháp giải

Phép nhân số phức: z₁.z₂ = ( ac – bd) + ( ad + bc). i

Phép chia số phức:

• Số phức nghịch đảo của z = a + bi ≠ 0
là Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) = =

• Thực hiện phép chia Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) là nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a + bi

Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) =
= +

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính giá trị của P= i¹⁰⁵ + i²³ + i²⁰ – i³⁴

A. 1 B. -2 C. 2 D. 5

Lời giải:

Ta có : i² = -1 ⇒ i⁴ = 1.

Do đó, P = i¹⁰⁵ + i²³ + i²⁰ – i³⁴

= i^{104 + 1} + i^{20 + 3} + i^4.5 – i^{4.8 + 2}

= i. i^4.26 + i².i.i^4.5 + 1- i². i^4.8

= i. 1 + (-1).i.1 + 1 - (-1).1 = 2

Đáp án: C

Ví dụ 2: Tìm số phức z = [(1 + 5i) - (1 + 3i)]²⁰⁰⁷.

A. z= - 8²⁰⁰⁷.i B. z= -8²⁰⁰⁷.i

C. z= -2²⁰⁰⁷ D. z= -2²⁰⁰⁷.i

Lời giải:

z = [(1 + 5i) - (1 + 3i)]²⁰⁰⁷ ⇔ z = [2i]²⁰⁰⁷

⇔ z = 2²⁰⁰⁷i²⁰⁰⁷
⇔ z = 2 ²⁰⁰⁷ i^4.501.i².i=2 ²⁰⁰⁷ (-i) ( Vì i² = -1 nên i⁴ =1)

Đáp án: D

Ví dụ 3: Gía trị của biểu thức A = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) + bằng

A. 1 + i B. 2 C. 0 D. -2

Lời giải:

Ta có:

Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) = = = = i

Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) = = = = - i ;

Suy ra:

A = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) +
= i²⁰¹⁶ + (-i)²⁰¹⁸

= (i²)¹⁰⁰⁸ + (i²)¹⁰⁰⁹ = (-1)¹⁰⁰⁸ + (-1)¹⁰⁰⁹
= 1-1 = 0

Đáp án: C

Ví dụ 4: Cho P= 1 + i + i² + i³ + ... + i²⁰¹⁷. Tính P?

A. P= i + 1 B. P= 1 C. P= i D. P= 2i

Lời giải:

Ta có;

P= 1 + i + i² + i³ + ... + i²⁰¹⁷

iP= i + i² + i³ + ... + i²⁰¹⁸

⇒ P - iP = 1 - i²⁰¹⁸

⇒ P = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) = =
= = = 1 + i

Đáp án: A

Ví dụ 5: Cho A = 1 + i² + i⁴ + .. + i^4k-2 + i^4k với k là số nguyên dương. Tính A?

A. A = 2ki B. A = 2k C. A = 0 D. A = 1

Lời giải:

Do A là tổng của một cấp số nhân (gồm 2k + 1 số hạng) với số hạng đầu u₁ = 1, công bội q= i².

Suy ra

A = 1 + i² + i⁴ + .. + i^4k-2 + i^4k

= Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) =
= = 1

Đáp án: D

Dạng 3: Tìm số phức liên hợp

1. Phương pháp giải

Cho số phức z= a + bi,( a,b ∈ R). Khi đó, số phức liên hợp với số phức z là: z− = a - bi

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức
z = ( 3- 2i). (2 + 3i)

A. z− = -5i B. z− = 12 -5i

C. z− = 12 + 5i D. z− = 3 + 2i

Lời giải:

Ta có: z = (3 - 2i).(2 + 3i) = 6 + 9i – 4i + 6

⇔ z = 12 + 5i Do đó, số phức liên hợp với số phức z là z− = 12 -5i

Đáp án: B

Ví dụ 2: Cho số phức z = 5 – 3i. Tính 1 + z− + (z− )² ta được kết quả:

A. – 22 + 33i. B. 22 + 33i.

C. 22 - 33i. D. -22 - 33i.

Lời giải:

Ta có z = 5 - 3i ⇒ z− = 5 + 3i

Suy ra : 1 + z− + (z− )² = 1 + (5 + 3i) + (5 + 3i)²= (6 + 3i) + (25 + 30i - 9) = 22 + 33i

Đáp án: B

Ví dụ 3: Cho số phức z = 4 - 3i. Tìm số phức liên hợp của số phức ω = 2z− + z².

A. ω− = 15 - 18i B. ω− = 16 + 18i

C. ω− = 15 + 16i D. ω− = 15 + 18i

Lời giải:

Ta có z = 4 - 3i nên số phức liên hợp với số phức z là : z− = 4 + 3i

Theo đầu bài :
ω = 2z− + z² = 2. (4 + 3i) + ( 4-3i)²

⇔ ω = 8 + 6i + ( 16 – 24i + 9i²) = 15 – 18i

Vậy ω = 15 – 18i

Vậy số phức liên hợp của ω là
ω− = 15 + 18i

Đáp án: D

Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn (1 + 3i) z - (2 + 5i) = (2 + i) z. Tìm số phức liên hợp của số phức z.

A. z− = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) + B. z− = - +

C. z− = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) - D. z− = - -

Lời giải:

Theo giả thiết ta có:

(1 + 3i)z-(2 + 5i) = (2 + i)z

⇔(1 + 3i-2-i)z = 2 + 5i⇔(-1 + 2i)z = 2 + 5i

⇔z = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) = +

Đáp án: A

Ví dụ 5: Tìm số phức z, biết z + 2iz− + 4 = i

A. z = 2- 3i B. z = - 3 + 2i

C. z = - 2 + 3i D. z = 3 - 2i

Lời giải:

Gọi số phức z cần tìm là z = a + bi ( a,b ∈ R)

Số phức liên hợp với số phức z là : z− = a - bi

Theo giả thiết: z + 2iz− + 4 = i

⇒ a + bi + 2i(a - bi) + 4 = i

⇔ a + bi + 2ai + 2b + 4-i = 0

⇔(a + 2b + 4) + (b + 2a-1)i = 0

⇔ Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) ⇔

Suy ra z = 2- 3i

Đáp án: A

Dạng 4: Môđun của số phức

1. Phương pháp giải

* Cho số phức z = a + bi, ( a,b ∈ R). Khi đó mô đun của số phức z kí hiệu là : | z| và :
| z| = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)

* Nhận xét : |z| ≥ 0 và |z| = 0 ⇔ z = 0 .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính môđun của số phức z = 6 – 8i

A. 10 B. 2 C. -2 D. 80

Lời giải:

Môđun của số phức z = 6 – 8i là: | z| = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) = 10

Đáp án: A

Ví dụ 2: Tìm số phức z, biết | z| = √5 , phần thực bằng 2 lần phần ảo và phần thực dương

A. z = 2 + i B. z = 1 + 2i

C. z = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) + D. z = +

Lời giải:

Cho số phức z = a + bi, ( a,b ∈ R) và a > 0

Do phần thực bằng 2 lần phần ảo nên: a = 2b (1).

mà | z| = √5 ⇔ Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) = √5 ⇔ a² + b² = 5 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) ⇔

Vậy số phức cần tìm là z = 2 + i.

Đáp án: A

Ví dụ 3: Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn: | z| - 2z− = -7 + 3i + z . Tính môđun của số phức: ω = 1 - z + z²

A. |ω| = √37 B. |ω| = √457

C. |ω| = √425 D. |ω| = 457

Lời giải:

Gọi số phức cần tìm là z = a + bi, ( a,b ∈ R)

Số phức liên hợp của số phức z là : z− = a - bi và | z| = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)

Theo giả thiết ta có: | z| - 2z− = -7 + 3i + z

⇔ Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) - 2(a - bi) = -7 + 3i + a + bi

⇔ Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)
⇔ ⇔

vậy z = 4 + 3i ⇒ ω = 1-(4 + 3i) + (4 + 3i)² = 4 + 21i⇒ |ω| = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) = √457

Đáp án: B

Ví dụ 4: Cho hai số phức z₁ và z₂ thỏa Cho hai số phức z₁ và z₂ thỏa |z₁ | = |z₂ | = 1; |z₁ + z₂ |=√3. Tính |z₁ - z₂ |

A. √3-1 B. 0 C. 1 D. -1

Lời giải:

Ta có :

3 =|z₁ + z₂ |² = (z₁ + z₂ )( z− ₁ + z− ₂ )

⇒z₁ z− ₂ + z₂ z− ₁ + z₁ z− ₁ + z₂ z− ₂ = 3

⇒z₁ z− ₂ + z₂ z− ₁ = 1

Vì |z₁| = |z₂| = 1 nên z₁. z₁− = 1 ; z₂. z₂− = 1

Khi đó:

|z₁ - z₂|² = (z₁ - z₂)(z₁− - z₂− ) = |z₁|² + |z₂|² - (z₁ z₂− + z₂ z₁− ) = 1

Đáp án: C

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn | z + 3| = 5 và | z- 2i|= |z – 2 - 2i|. Tính |z|.

A. |z| = 5 B. |z| = √5

C. |z| = 2 D. |z| = √10

Lời giải:

Gọi số phức z cần tìm là z = a + bi ( a,b ∈ R)

Ta có: |z + 3| = 5⇔|a + bi + 3| = 5 ⇔(a + 3)² + b² = 25 (*)

|z-2i| = |z-2-2i| ⇔|a + bi-2i| = |a + bi-2-2i|

⇔a² + (b-2)² = (a - 2)² + (b - 2)²

⇔a² = (a-2)²

⇔ Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)

Thế a = 1 vào (*) ta được 16 + b² = 25 ⇒ b² = 9

Do đó, môdun của z là: |z| = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) = √10

Đáp án: D

Dạng 5: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện T

1. Phương pháp giải

Để tìm được số phức thỏa mãn điều kiện T, ta cần linh hoạt các phép toán của số phức, tính môdun số phức, số phức liên hợp...

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho số phức z = 2m + ( m + 2)i, (m∈ R) . Tìm z biết rằng z² là một số phức có phần thực bằng - 5.

A. Không có số phức cần tìm

B. z = 2 + 3i , z = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) +

C. z = 4 + 2√3 + (4 + √3)i; z = 4 - 2√3 + (4 - √3)i

D. z = 2i, z = -18 – 7i

Lời giải:

Ta có :

z² = 4m² + 2m(m + 2)i + [(m + 2)i]²= 3m² + 2m(m + 2)i-4m-4

Do z² là số phức có phần thực bằng -5 nên ta có:

⇒ 3m² - 4m - 4 = -5 ⇔ 3m² - 4m + 1 = 0 ⇔ m = 1 ; m = 1/3

Vậy có hai số phức thỏa mãn là z₁ = 2 + 3i và z₂ = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) +

Đáp án: B

Ví dụ 2: Cho số phức z = m + (m-1)i; (m∈ R) và số phức z' = 2n + (2-3n)i (n∈R) .Tìm m và n biết rằng z - z’= 1 + 7i

A. m = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) ; n = B. m = ; n =

C. m = -9, n = -5 D. m = -13, n = - 7

Lời giải:

Ta có:
z - z’ = [ m + ( m - 1).i] – [2n + (2- 3n).i] = (m- 2n) + ( m + 3n – 3). I

Theo giả thiết z- z’ = 1 + 7i nên ta có: (m - 2n) + (m + 3n – 3).i = 1 + 7i .

Từ đó ta có hệ phương trình sau:

Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) ⇔
⇔

Đáp án: B

Ví dụ 3: Tìm số phức z = x + yi, ( x, y ∈ R) thỏa mãn z + 3x = 2z− - 3i . Tìm |z|

A. |z| = 1 B. |z| = 2

C. |z| = √2 D. |z| = √3

Lời giải:

Vì z + 3x = 2z− - 3i
⇔ x + yi + 3x = 2(x - yi) - 3i
⇔ 4x + yi = 2x - (2y + 3)i

⇔ Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) ⇔

Do đó, số phức thỏa mãn đầu bài là z = - i và |z| = 1

Đáp án: A

Ví dụ 4: Có bao nhiêu số phức z có phần ảo gấp ba lần phần thực, đồng thời |z− | = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Lời giải:

Gọi số phức cần tìm là z = a + bi, ( a,b ∈ R)

Do số phức z có phần ảo gấp ba lần phần thực nên b = 3a

⇒ Số phức cần tìm có dạng: z = a + 3ai

Số phức liên hợp của số phức z là: z− = a - 3ai

Theo giả thiết ta có: |z−| = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) ⇔ =

⇔ Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) =
⇔ 10a² = 20a ⇔

Với a = 0 thì z = 0.

Với a = 2 thì z = 2 + 6i

Vậy có hai số phức thỏa mãn là z = 0 hoặc z = 2 + 6i

Đáp án: C

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A là điểm biểu diễn của số phức z= 1 + 2i, B là điểm thuộc đường thẳng y=2 sao cho tam giác OAB cân tại O. Tìm số z biểu diễn B.

A. z = 1 + 2i. B. z = -1 + 2i.

C. z = 3 + 2i, z = -3 + 2i. D. z = - 1 + 2i, z = 1 + 2i.

Lời giải:

Ta có, điểm A biểu diễn số phức z = 1 + 2i nên tọa độ A( 1; 2) .

Do điểm B nằm trên đường thẳng y = 2 nên tọa độ B(x, 2); ( x ≠ 1 )

Để tam giác OAB cân tại O khi và chỉ khi OA = OB.

⇔ Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) = ⇔ x² + 4 = 5
⇔ x² = 1 ⇔

Suy ra, tọa độ B (-1; 2). Do đó,số phức biểu diễn B là z = -1 + 2i

Đáp án: B

Dạng 6: Giải phương trình bậc nhất trên tập số phức

1. Phương pháp giải

Cho phương trình az + b= 0 (a ≠ 0 ) a, b là hai số phức ⇔ az = -b ⇔ z = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)

Sau đó, thực hiện phép chia số phức để tìm ra z.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Cho số phức z thỏa mãn: (2 + i)z + 2 – i= 0. Tìm phần thực của số phức.

A. - Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) B. -3 C. 5 D.

Lời giải:

Ta có: (2 + i ).z + 2- i = 0 ⇔ ( 2 + i)z = - 2 + i

⇔ z = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) =

Do đó, phần thực của số phức cần tìm là - Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)

Đáp án: A

Ví dụ 2: Giải phương trình iz + 3- 2i = 1 + i

A. z = 2 + 3i B. z = 1- 3i

C. z = 3 + 2i D. z = 2 + 2i

Lời giải:

Ta có: iz + 3 – 2i = 1 + i

⇔ iz = 1 + i- 3 + 2i

⇔ iz = -2 + 3i

⇔ z = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) = = 3 + 2i

Đáp án: C

Ví dụ 3: Giải phương trình: (2 + 4i)z + ( 4 - 2i)z + 2- 2i = 0

A. z = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) B. z =

C. z = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) D. z =

Lời giải:

Ta có: ( 2 + 4i).z + (4 –2 i). z + 2- 2i = 0

⇔( 2 + 4i + 4 – 2i)z = - 2 + 2i ⇔ (6 + 2i). z = - 2 + 2i

⇔ z = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) =
⇔z =

⇔ z = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) = =

Đáp án: C

Ví dụ 4: Giải phương trình (1 + 2i)z + Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) = 0

A. z = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) B. z =

C. z = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) D. z =

Lời giải:

Ta có: (1 + 2i)z + Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) = 0 ⇔ (1 + 2i)z =

⇔ (1 + 2i)z = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)

⇔ (1 + 2i)z = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) ⇔ (1 + 2i)z = -2 + 4i

⇔ z = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) =

⇔ z = Bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)

Đáp án: D

Tài liệu có 48 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống

Từ khóa :

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Tìm kiếm