Phép vị tự là gì? Lý thuyết và các dạng bài tập

Trần Thị Hồng Ngày: 08-03-2024 Tổng hợp kiến thức

Tải xuống 14 2.4 K 0

Tailieumoi.vn xin giới thiệu Phép vị tự là gì? Lý thuyết và các dạng bài tập. Bài viết gồm đầy đủ lý thuyết và bài tập ở các mức độ khác nhau, có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài tập Toán 11.

Phép vị tự là gì? Lý thuyết và các dạng bài tập

1. Định nghĩa.

- Cho điểm O và số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho $\vec{O M'} = k . \vec{O M}$ được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k.

Lý thuyết Phép vị tự chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Phép vị tự tâm O tỉ số k thường được kí hiệu là V_{(O, k)}.

- Nhận xét:

1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.

2) Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất.

3) Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự.

4) M’ = V_{(O, k)}(M) $\Leftrightarrow M = V_{(O, \frac{1}{k})} (M')$ .

2. Tính chất

- Tính chất 1. Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M’, N’ thì $\vec{M' N'} = k . \vec{M N}$ và M’N’ = |k|.MN.

- Tính chất 2.

Phép vị tự tỉ số k:

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

Lý thuyết Phép vị tự chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.

Lý thuyết Phép vị tự chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|.R.

Lý thuyết Phép vị tự chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

3. Tâm vị tự của hai đường tròn.

- Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Tâm của phép vị tự được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

- Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn.

Cho hai đường tròn (I ; R) và (I’; R’) có ba trường hợp xảy ra:

+ Trường hợp I trùng với I’

Khi đó, phép vị tự tâm I tỉ số $\frac{R'}{R}$ và phép vị tự tâm I tỉ số $- \frac{R'}{R}$ biến đường tròn

(I ; R) thành đường tròn (I ; R’).

Lý thuyết Phép vị tự chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

+ Trường hợp I khác I’ và R ≠ R’

Lấy điểm M bất kì thuộc đường tròn (I ; R), đường thẳng qua I’ song song với IM cắt đường tròn (I’ ; R’) tại M’ và M”.

Giả sử M, M’ nằm cùng phía đối với đường thẳng II’ còn M, M” nằm khác phía đối với đường thẳng II’.

Giả sử đường thẳng MM’ cắt đường thẳng II’ tại điểm O nằm ngoài đoạn thẳng II’, còn đường thẳng MM” cắt đường thẳng II’ tại điểm O₁ nằm trong đoạn thẳng II’.

Lý thuyết Phép vị tự chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Khi đó, phép vị tự tâm O tỉ số $k = \frac{R'}{R}$ và phép vị tự tâm O₁ tỉ số $k_{1} = - \frac{R'}{R}$ sẽ biến đường tròn (I ; R) thành đường tròn (I’; R’).

Ta gọi O là tâm vị tự ngoài còn O₁ là tâm vị tự trong của hai đường tròn nói trên.

+ Trường hợp I khác I’ và R = R’.

Khi đó, MM’ // II’ nên chỉ có phép vi tự tâm O₁ tỉ số $k = \frac{- R}{R} = - 1$ biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I’ ; R’). Đây chính là phép đối xứng tâm O₁.

Lý thuyết Phép vị tự chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 1. Cho hai đường tròn (C): (x – 2)² + (y – 1)² = 4 và (C’): (x – 8)² + (y – 4)² = 16. Xác định tâm vị tự của hai đường tròn?

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(2 ; 1),bán kính R = 1;

Đường tròn (C’) có tâm I’(8 ; 4), bán kính R’ = 4.

Do I ≠ I’ và R ≠ R’ nên có hai phép vị tự V_{(J, 2)} và V_{(J, -2)} biến (C) thành (C’).

Gọi J(x ; y)

Với k = 2 khi đó:

$\vec{J I'} = 2 \vec{J I} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 8 - x = 2 (2 - x) \\ 4 - y = 2 (1 - y) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 4 \\ y = - 2 \end{cases}$

Suy ra: J(– 4; – 2)

Tương tự với k = – 2, tính có J’(4; 2).

Vậy có 2 phép vị tự thỏa mãn đầu bài.

4. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho hai đường thẳng d và d’ cắt nhau. Có bao nhiêu phép vị tự biến d thành d’?

A. không có phép vị tự nào

B. có một phép vị tự duy nhất

C. có hai phép vị tự

D. có vô số phép vị tự

Lời giải:

Đáp án: A

Không có phép vị tự nào biến d thành d’ (Phép vị tự biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó).

Bài 2: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R) (O không trùng với O’). Có bao nhiều phép vị tự biến (O) thành (O’)?

A. không có phép vị tự nào

B. có một phép vị tự duy nhất

C. có hai phép vị tự

D. có vô số phép vị tự

Lời giải:

Đáp án: B

Có một phép vị tự duy nhất, tâm vị tự là trung điểm OO’, tỉ số vị tự là k = -1.

Bài 3: Có bao nhiêu phép vị tự biến một đường tròn thành chính nó?

A. không có phép vị tự nào

B. có một phép vị tự duy nhất

C. có hai phép vị tự

D. có vô số phép vị tự

Lời giải:

Đáp án: C

(hình 1) Có hai phép vị tự: V(O; 1)(O; OA) = (O; OA) và V(0; -1)(O; OA) = (O; OB)

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). BC cố định, I là trung điểm BC , G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi A di động trên (O) thì G di động trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép vị tự nào sau đây?

A. phép vị tự tâm A tỉ số k = $\frac{2}{3}$

B. phép vị tự tâm A tỉ số k = - $\frac{2}{3}$

C. phép vị tựu tâm I tỉ số k = $\frac{1}{3}$

D. phép vị tự tâm I tỉ số k = - $\frac{1}{3}$

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Lời giải:

Đáp án: C

B, C cố định nên trung điểm I của BC cũng cố định. G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có $\vec{I G}$ = $\frac{1}{3}$ $\vec{I A}$ ⇒ có phép vị tự I tỉ số k = $\frac{1}{3}$ biến A thành G. A chạy trên (O) nên G chạy trên (O’) ảnh của O qua phép vị tự trên.

Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). điểm A cố định, dây BC có độ dài bằng R; G là trọng tâm tam giác ABC. Khi A di động trên (O) thì G di động trên đường tròn (O’) có bán kính bằng bao nhiêu?

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Lời giải:

Đáp án: C

(hình 2) Ta có tam giác OBC đều, đường cao OI = $\frac{R \sqrt{3}}{2}$

⇒ I chạy trên đường tròn tâm O bán kính $\frac{R \sqrt{3}}{2}$ .

A cố định, G là trọng tâm ta giác ABC nên $\vec{A G}$ = $\frac{2}{3} \vec{A I}$

⇒ có phép vị tự tâm A tỉ số k = $\frac{2}{3}$ biến đường tròn (O; $\frac{(R \sqrt{3})}{2}$ ) thành đường tròn (O';R’) với Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Chọn đáp án C

Bài 6: Cho hai đường thẳng d và d’ song song với nhau. Tìm mệnh đề đúng:

A. Có duy nhất một phép vị tự biến d thành d’

B. Có đúng hai phép vị tự biến d thành d’

C. Có vô số phép vị tự biến d thành d’

D. Không có phép vị tự nào biến d thành d’

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

Lời giải:

Đáp án: C

Lấy điểm A, A’ bất kì lần lượt trên d và d’.

Trên đường thẳng AA’ lấy điểm I bất kì, đặt $\frac{I A'}{I A}$ = k.

Khi đó, phép vị tự tâm I tỉ số k biến A thành A’, biến đường thẳng d thành đường thẳng d’.

Vì A và A’ là 2 điểm bất kì trên d và d’ nên có vô số phép vị tự biến d thành d’

Đáp án C

Bài 7: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O. gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.

Phép vị tự tâm G tỉ số - $\frac{1}{2}$ biến:

A. Điểm A thành điểm G

B. Điểm A thành điểm D

C. Điểm D thành điểm A

D. Điểm G thành điểm A

b) Phép vị tự tâm G tỉ số - $\frac{1}{2}$ biến tam giác ABC thành

A. Tam giác GBC

B. Tam giác DEF

C. Tam giác AEF

D. Tam giác AFE

c) Phép vị tự tâm G tỉ số - $\frac{1}{2}$ biến $\vec{A H}$ thành

A. $\vec{O D}$

B. $\vec{D O}$

C. $\vec{H K}$

D. $\vec{K H}$

Lời giải:

Đáp án: B

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

a) $\vec{G D} = - \frac{1}{2} \vec{G A}$ ⇒ phép vị tự tâm G tỉ số - $\frac{1}{2}$ biến A thành D.

Đáp án B.

b) Phép vị tự tâm G tỉ số - $\frac{1}{2}$ biến A thành D; biến B thành E; biến C thành F ⇒ biến tam giác ABC thành tam giác DEF.

Đáp án B

c) Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua tâm O. Chứng mình BHCA’ là hình bình hành, suy ra H; A’; D thẳng hàng và DO là đường trung bình của tam giác AHA’ ⇒ $\vec{D O} = - \frac{1}{2} A H$ ⇒ phép vị tự tâm G tỉ số - $\frac{1}{2}$ biến $\vec{A H} \to \vec{D O}$ .

Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép vị tự H(1;2) tỉ số k = -3 điểm M(4;7) biến thành điểm M’ có tọa độ

A. M'(-13;-8)

B. M'(8;13)

C. M'(-8;-13)

D. M'(-8;13)

Lời giải:

Đáp án: C

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

⇒ M'(-8;-13)

Đáp án C

Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình : 3x + y + 6 = 0. Qua phép vị tự tâm O(0;0) tỉ số k = 2, đường thẳng d biến thành đường thẳng d’ có phương trình.

A. -3x + y - 6 = 0

B. -3x + y + 12 = 0

C. 3x - y + 12 = 0

D. 3x + y + 18 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

Lấy M(-2;0) thuộc d. Phép vị tự tâm O (0;0) tỉ số k = 2 biến d thành d’//d và biến M thành M’ thì $\vec{O M'}$ = 2 $\vec{O M}$ ⇒ M'(-4;0). Phương trình d’: 3(x + 4) + y + 6 = 0 ⇒ 3x + y + 18 = 0. Đáp án D.

Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường (C) có phương trình.

x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0. Qua phép vị tự tâm H(1;3) tỉ số k = -2, đường tròn (C) biến thành đường tròn (C’) có phương trình.

A. x² + y² + 2x - 30y + 60 = 0

B. x² + y² - 2x - 30y + 62 = 0

C. x² + y² + 2x - 30y + 62 = 0

D. x² + y² - 2x - 30y + 60 = 0

Lời giải:

Đáp án: C

V(H;-2)(I) = I'(x;y) ⇒ $\vec{H I'}$ = -2 $\vec{H I}$

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

→I'(-1;15)

R' = |k|R = 8 → ( $\hat{C'}$ ): (x + 1)² + (y - 15)² = 64 → x² + y² + 2x - 30y +62 = 0

5. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép vị tự tâm I(1;4) tỉ số k = -2, biến đường thẳng d có phương trình : 7x + 3y - 4 = 0 thành đường thẳng d’ có phương trình?

Lời giải:

Phép vị tự tâm I (1; 4) tỉ số k = -2, biến M(x; y) thuộc d thành M’(x’;y’) thuộc d;

⇒ $\vec{I M'}$ = -2 $\vec{I M}$

Thay vào phương trình d ta được: Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

⇒ d' có phương trình là: 7x + 3y - 49 = 0.

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép vị tự tâm O(0;0) tỉ số k = -2, biến đường tròn (C) có phương trình: x² + y² = 9 thành đường tròn (C’) có phương trình:

Lời giải:

Phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = -2 biến tâm O của (C) thành O, biến bán kính R = 3 thành R’ = 6 ⇒ phương trình (C’) là x² + y² = 36

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép vị tự tâm O(0;0) tỉ số k = 2 biến đường tròn (C) có phương trình: x² + y² + 4x + 6y = 12 thành đường tròn (C’) có phương trình:

Lời giải:

(C) ⇒ (x + 2 )² + (y + 3)² = 25. Phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2 biến tâm I(-2; -3) của (C) thành I’(-4; -6), biến bán kính R = 5 thành R’ = 10 ⇒ phương trình (C’) là: (x + 4)² + (y + 6)² = 100

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép vị tự tâm H(1;0) tỉ số k = 2, biến đường tròn (C) có phương trình : x² + 4x + y² + 6y = 12 thành đường tròn (C’) có phương trình

Lời giải:

⇒ $\vec{H I'} = 2 \vec{H I}$

biến bán kính R = 5 thành R’ = 10 ⇒ Phương trình (C’) là: (x + 5)² + (y + 6)² = 100

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép vị tự tâm H(1;-3) tỉ số k = $\frac{1}{2}$ , biến đường tròn (C) có phương trình : (x - 2)² + (y - 3)² = 32 thành đường tròn (C’) có phương trình:

Lời giải:

Phép vị tự tâm H (1; -3) tỉ số k = $\frac{1}{2}$ , biến tâm I(2; 3) của (C) thành I’(x; y)

biến bán kính R = $4 \sqrt{2}$ thành R' = $2 \sqrt{2}$ ⇒ phương trình (C’) là:

Bài 6: Cho hình thang ABCD có AD // BC và AD = 2 BC. Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình thang. Phép vị tự tâm A biến C thành O có tỉ số vị tự là:

Lời giải:

Vì BC // AD nên áp dụng hệ quả định lí ta – let ta có:

Suy ra: AO = 2OC

Do đó, phép vị tự tâm A hệ số biến điểm C thành O.

Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép vị tự tâm O(0;0) tỉ số k = -3, biến điểm M(-4;3) thành điểm M’ có tọa độ

Lời giải:

$\vec{O M'} = - 3 \vec{O M}$

⇒ M'(12; -9)

Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số k = 5, biến điểm M(2;-3) thanh điểm M’ có tọa độ:

Lời giải:

$\vec{I M'} = 5 \vec{I M}$

⇒ M'(6; -23)

Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép vị tự tâm I(0;2) tỉ số k = - $\frac{1}{2}$ , biến điểm M(12;-3) thành điểm M’ có tọa độ:

Lời giải:

Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép vị tự tâm O(0;0) tỉ số k = -5, biến đường thẳng d có phương trình : 2x + 3y - 4 = 0 thành đường thẳng d’ có phương trình:

Lời giải:

Phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = -5, biến M(x; y) thuộc d thành M’(x’, y’) thuộc d’ ⇒ $\vec{O M'} = - 5 \vec{O M}$

Thay vào phương trình d ta được: Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

⇒ phương trình của d’ là 2x + 3y + 20 = 0

6. Bài tập tự luyện

Bài 1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm H, tỉ số $\frac{1}{2}$ .

Bài 2 Tìm tâm vị tự của hai đường tròn trong các trường hợp sau.

Giải bài 2 trang 29 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 3 Chứng minh rằng khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm O sẽ được một phép vị tự tâm O.

Bài 4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm H, tỉ số $\frac{1}{2}$

Bài 5 Chứng minh rằng khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm O sẽ được một phép vị tự tâm O

Bài 6 Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d'. Có bao nhiêu phép vị tự biến d thành đường thẳng d'?

Bài 7 Cho hai đường thẳng song song d và d' .Có bao nhiêu phép vị tự với tỉ số k=20 biến đường thẳng d thành đường thẳng d'?

Bài 8 Cho hai đường thẳng song song d và d' và một điểm O không nằm trên chúng. Có bao nhiêu phép vị tự tâm O biến đường thẳng d thành đường thẳng d'?

Bài 9 Cho hai đường thẳng d và d’ cắt nhau. Có bao nhiêu phép vị tự biến d thành d’?

Bài 10 Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R) (O không trùng với O’). Có bao nhiều phép vị tự biến (O) thành (O’)?

Tài liệu có 14 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống

Từ khóa :

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Tìm kiếm