Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 95)

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH = 4cm; HC = 6cm.

a) Gọi M là trung điểm của AC. Tính số đo góc $\widehat{AMB}$ (làm tròn đến độ).

b) Kẻ AK vuông góc với BM (K thuộc BM). Chứng minh BK.BM = BH.BC.

Lời giải:

a) $\cos \widehat{AMB}=\frac{A{M}^2+M{B}^2-A{B}^2}{2.AM.MB}$ (*)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

AH² = BH.HC = 4.6 = 24 ⇒ $AH=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$cm

$AB=\sqrt{A{H}^2+B{H}^2}=2\sqrt{10}$cm

$AC=\sqrt{A{H}^2+C{H}^2}\mathrm{ }=2\sqrt{15}$cm

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}\mathrm{ }=10$cm

BM là đường trung tuyến nên ta có:

$B{M}^2=\frac{A{B}^2+B{C}^2}{2}-\frac{A{C}^2}{4}=52\Rightarrow BM=2\sqrt{13}cm$

$AM=MC=\frac{1}{2}AC=\sqrt{10}cm$

Thay số vào (*) ta có: $\cos \widehat{AMB}=\frac{{\left(\sqrt{10}\right)}^2+{(2\sqrt{13})}^2-{(2\sqrt{10})}^2}{2.\sqrt{10}.2\sqrt{13}}=0,15$

Suy ra: $\widehat{AMB}\approx 81,{22}^{\circ }$

b) Xét ΔABM vuông tại A có AK là đường cao nên BK.BM = AB² (1)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao nên BH.BC = AB² (2)

Từ (1) và (2) suy ra BK.BM = BH.BC.