Chứng minh n^5 – n chia hết cho 30 với mọi số nguyên n

Chứng minh n^5 – n chia hết cho 30 với mọi số nguyên n

Nguyễn Mạnh Tài Ngày: 30-04-2024 Tổng hợp kiến thức

147

Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 95)

Đề bài. Chứng minh n⁵ – n chia hết cho 30 với mọi số nguyên n.

Lời giải:

n⁵ – n = n(n⁴ – 1)

= n(n² – 1)(n² + 1)

= n(n – 1)(n + 1)(n² + 1)

= n(n – 1)(n + 1)(n² – 4 + 5)

= n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) + 5n(n – 1)(n +1)

Vì n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) chia hết cho 5

Và 5n(n – 1)(n +1) chia hết cho 5

Nên: n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) + 5n(n – 1)(n +1) ⋮ 5 (1)

Lại có: n(n – 1)(n + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3

Suy ra: n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) + 5n(n – 1)(n +1) ⋮ 6 (2)

Từ (1) và (2) ta có: n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) + 5n(n – 1)(n +1) ⋮ 30

Vậy n⁵ – n chia hết cho 30 với mọi số nguyên n.

Xem thêm các bài tập thường gặp môn Toán hay, chọn lọc khác:

Đề bài. Cho x + y = 15. Tìm min, max $B = \sqrt{x - 4} + \sqrt{y - 3}$

Đề bài. Cho x,y,z là các số nguyên thỏa mãn: (x - y)(y - z)(z – x) = x + y + z. Chứng minh x + y + z chia hết cho 27.

Đề bài. Cho x, y, z thỏa mãn đk x + y + z = a. Tìm GTNN của $P = (1 + \frac{a}{x}) (1 + \frac{a}{y}) (1 + \frac{a}{z})$

Đề bài. Cho x + 3y – 4 = 0, tính x³ - x² + 9x²y - 9y² + 27xy² + 27y³ - 6xy

Đề bài. Chứng tỏ rằng (2²⁰²² + 2²⁰²¹ + 2²⁰²⁰) chia hết cho 7.

Đề bài. Tìm các hệ số a, b, c biết: (ax + b)(x² – cx + 2) = x³ + x² – 2 với mọi x

Đề bài. Chứng minh $\frac{1}{2 \sqrt{1}} + \frac{1}{3 \sqrt{2}} + \frac{1}{4 \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{2005 \sqrt{2004}} < 2$

Đề bài. Chứng minh $\frac{1}{65} < \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{6^{3}} + \dots + \frac{1}{2004^{3}} < \frac{1}{40}$

Đề bài. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng: Tổng $\frac{1}{D I^{2}} + \frac{1}{D K^{2}}$ không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Đề bài. Chứng minh rằng F = 10²⁸ + 8 chia hết cho 72

Đề bài. Chứng minh $\frac{1 - 2 \sin^{2} x}{1 + \sin 2 x} = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$

Đề bài. Chứng minh tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Đề bài. Chứng minh n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Đề bài. Chứng minh rằng nếu 5(m + n)² + mn ⋮ 441 thì mn ⋮ 441 (m, n ∈ ℤ)

Đề bài. Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ với a, b, c, d khác 0. Chứng minh $\frac{a}{a - b} = \frac{c}{c - d}$

Đề bài. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{A D} + \vec{C B}$

Đề bài. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, Ab = c, đường phân giác AD.

Đề bài. Chứng minh biểu thức $A = - x^{2} + \frac{2}{3} x - 1$ luôn âm với mọi giá trị của biến

Đề bài. Chứng minh biểu thức sau luôn âm với mọi x: –x² – 6x – 15

Đề bài. Chứng minh với a, b dương thì $\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}$

Đề bài. Có tồn tại hay không một dãy gồm 2019 số tự nhiên liên tiếp mà các số đó đều là hợp số?

Đề bài. Chứng minh đẳng thức sau: $\frac{(\sin x + \cos x)}{\sin^{3} x} = \cot^{3} x + \cot^{2} x \cot x + 1$

Đề bài. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C thuộc (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại D. Gọi E là trung điểm của AD. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).

Đề bài. Chứng minh tam giác ABC có h_a = 2R.sinB.sinC

Đề bài. Chứng minh n⁵ – n chia hết cho 30 với mọi số nguyên n.

Đề bài. Nếu ab chia hết cho c và ƯCLN (a,c) = 1 thì b chia hết cho c

Đề bài. Cho (O) và A là điểm nằm ngoài (O). Qua A vẽ tiếp tuyến AB, AC với (O) với B,C là tiếp điểm. OA cắt BC tại DA

Đề bài. Chứng tỏ rằng số có dạng $\bar{a a a}$ bao giờ cũng chia hết cho 37.

Đề bài. Chứng minh rằng: Nếu p là một số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 7 cũng là số nguyên tố thì 4p + 7 là một hợp số.

Đề bài. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu cùa H lên AB và AC.

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên AC lấy điểm K ( K khác A và C), gọi D là hình chiếu của A trên BK. Cho biết BC = 4BH.

Chứng minh rằng: $S_{B H D} = \frac{1}{4} S_{B K C} . \cos^{2} \hat{A B D}$

Đề bài. Chứng minh $\frac{1 - \cos 2 x}{\sin 2 x} = \tan x$

Đề bài. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: sinC = sin (A + B).

Đề bài. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC. Chứng minh:

Đề bài. Chứng minh rằng trong 1 tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền

Đề bài. Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ thì n(2n + 7)(7n + 1) chia hết cho 6

Đề bài. Chứng tỏ rằng A = 1 + 4 + 4² + … + 4²⁰²¹ chia hết cho 21.

Đề bài. Chứng minh rằng A = 3^{5n + 2} + 3^{5n + 1} – 3⁵ⁿ chia hết cho 11 với mọi n ∈ ℕ

Đề bài. Chứng minh rằng A = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶⁰ chia hết cho 3 và 7.

Đề bài. Chứng minh rằng số dư trong phép chia một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên tố. Khi chia cho 60 thì kết quả ra sao

Đề bài. Cho a, b, c > 0. Chứng minh $\frac{a^{5}}{b^{2}} + \frac{b^{5}}{c^{2}} + \frac{c^{5}}{a^{2}} \geq a^{3} + b^{3} + c^{3}$

Đề bài. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì (n + 2022)(n + 2023) chia hết cho 2

Đề bài. Cho 3 số tự nhiên a b c không chia hết cho 4. Khi chia a b c cho 4 thì có số dư khác nhau. Chứng minh a + b + c chia hết cho 2

Đề bài. Có 35 viên bi trong đó có 7 viên màu xanh 8 viên màu đỏ và 20 viên bi màu vàng vậy số bi màu xanh chiếm bao nhiêu phần của tổng số bi ?

Đề bài. Có 5 công nhân làm trong 6 giờ được 120 sản phẩm. Hỏi 4 công nhân làm trong bao nhiêu giờ thì được 96 sản phẩm? (mức làm mỗi người như nhau)

Đề bài. Có 6 học sinh sẽ được sắp xếp ngồi vào 6 chỗ đã được ghi số thứ tự trên 1 bàn dài.

Đề bài. Cho tam giác ABC, D và I là các điểm được xác định bởi

$3 \vec{D B} - 2 \vec{D C} = \vec{0}; \vec{I A} + 3 \vec{I B} - 2 \vec{I C} = \vec{0}$ .

Đề bài. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm.

Đề bài. Tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 và $\tan \hat{A} = 2 \sqrt{2}$ . Tính cạnh BC.

Đề bài. Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6 và trung tuyến BM = 3. Tính cạnh BC?

Đề bài. Cho tam giác ABC có $\hat{B} + \hat{C} = 60^{\circ}$ ; AB = 3; AC = 6. Tính độ dài đường phân giác AD?

Đề bài. Tam giác ABC có $B C = \sqrt{5}; A C = 3; \cot C = - 2$ . Tính cạnh AB?

Đề bài. Tam giác ABC có BC = 12, CA = 9, AB = 6. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM = 4. Độ dài AM bằng bao nhiêu?

Đề bài. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Đường trung tuyến AM = AB = c. Chứng minh rằng a² = 2(b² – c²)

Đề bài. Cho tam giác ABC nhọn AB < AC. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ Bx, Cy lần lượt vuông góc với AB, AC chúng cắt nhau tại K.

Đề bài. Tam giác ABC vuông tại A và có AB = AC = a. Tính độ dài đường trung tuyến BM của tam giác đã cho.

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm , BC = 10cm. Tính sinC, tan C, cos C, cotC, sinB, cosB, tanB, cotB

Đề bài. Cho ΔABC có hai trung tuyến CM, BN bằng nhau và cắt nhau tại G. Chứng minh tam giác ABC cân.

Đề bài. Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là 5,6,7. Tìm độ dài đường cao ứng với cạnh có độ dài bằng 6.

Đề bài. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y = x³ − 3mx² + 4m³ có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ.

Đề bài. Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (MA > MB). Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB, vẽ các tam giác đều AMC, BMD. Gọi E, F, I, K theo thứ tự là trung điểm của CM, CB, DM, DA. Chứng minh rằng EFIK là hình thang cân và $K F = \frac{1}{2} C D$

Đề bài. Trong tam giác ABC lấy điểm O sao cho $\hat{A B O} = \hat{A C O}$ . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O lên AB, AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh tam giác MHK là tam giác cân.

Đề bài. Trong tam giác ABC, nếu có 2h_a = h_b + h_c thì:

Đề bài. Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc AC, từ B kẻ tia By song song AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M là trung điểm P của AB, đường thẳng MP cắt AC tại Q và đường thẳng BQ cắt AI tại H

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) đường cao AH

Đề bài. Trong hình tam giác đều, khẳng định nào sau đây là đúng?

Đề bài. Khi quay 1 hình tam giác vuông một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định ta được hình gì?

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB <AC), M là trung điểm của BC. Kẻ ME vuông góc AB (E thuộc AB), kẻ MF vuông góc AC (F thuộc AC ).

Đề bài. Nhà bạn Thu có một đèn trang trí có dạng hình chóp tam giác đều như Hình 10.16. Các cạnh của hình chóp đều bằng nhau và bằng 20 cm. Bạn Thu dự định sẽ dán các mặt bên của đèn bằng những tấm giấy màu. Tính diện tích giấy bạn Thu sử dụng (coi như mép dán không đáng kể). Cho biết $\sqrt{300} \approx 17, 32$

Đề bài. Cho tam giác ABC có góc B bằng 120°, BC = 12cm, AB = 6cm. Đường phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D.

Đề bài. Cho (O ; 4cm) có 2 đường kính AB và CD vuông góc tại O. Lấy I trên OC sao cho OI = 3cm. AI cắt (O) tại M. Tính AM và đường cao MH của ΔAMB

Đề bài. Nêu tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.

Đề bài. Giải tam giác vuông ABC khi biết độ dài hai cạnh

Đề bài. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SB. Gọi E, F là hai điểm lần lượt thuộc miền trong tam giác ABD và tam giác BCD. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MEF) và mặt phẳng (SCD).

Đề bài. Chu vi của một tam giác là 81cm. Các cạnh của nó tỉ lệ với 2, 3, 4. Tính độ dài mỗi cạnh.

Đề bài. Chứng minh rằng $\frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} (n \in N^{*})$

Đề bài. Giả sử AB là một dây cung của đường tròn (O). Trên cung nhỏ AB lấy các điểm C và D sao cho $\overset{⏜}{A C} = \overset{⏜}{B D}$ . Chứng minh AB và CD song song.

Đề bài. Cho 10a² – 3b² + ab = 0 với b > a > 0. Tính $M = \frac{2 a - b}{3 a - b} + \frac{5 b - a}{3 a + b}$ .

Đề bài. Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = DN. Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng MN và BC tại E và F.

Đề bài. Cho $\bar{a b c} - \bar{\deg}$ chia hết cho 7. Chứng minh $\bar{a b c d e g}$ chia hết cho 7.

Đề bài. Cho hình bình hành ABCD có $\hat{A} = 120^{\circ}$ . Tia phân giác của $\hat{D}$ qua trung điểm I của AB. Kẻ AH vuông góc với DC. Chứng minh rằng:

Đề bài. Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3 trong đó số sau lớn hơn số trước d đơn vị. Chứng minh rằng d chia hết cho 6.

Đề bài. Cho Parabol (P): y = x² và đường thẳng (d) : y = 2(m + 3)x – 2m + 2 (m là tham số, m thuộc R).

Đề bài. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là các tiếp điểm).

Đề bài. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên 2 nửa phẳng đối nhau bờ AB lần lượt vẽ 2 tia Ax, By vuông góc AB. Trên Ax lấy điểm P, Trên Ay lấy Q sao cho AP = BQ. Chứng minh P, Q, M thẳng hàng.

Đề bài. Cho M = 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰. Chứng minh M chia hết cho 10.

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH = 4cm; HC = 6cm.

Đề bài. Cho a, b, c thuộc ℕ^*: a² + b² = c². Chứng minh abc chia hết cho 60.

Đề bài. Tam giác ABC có a = 7, b = 5, góc $\hat{C}$ = 60°. Độ dài cạnh c bằng bao nhiêu?

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Đề bài. Cho hình vẽ sau biết $\hat{x A B} = 60^{\circ}; \hat{A B y} = 120^{\circ}; \hat{B C z} = 150^{\circ}$ . Chứng minh

Đánh giá

0

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Tổng hợp kiến thức

Chứng minh rằng biểu thức sau luôn luôn dương với mọi x, y: B = x^2 - 2x + y^2 + 4y + 6

Chứng minh rằng biểu thức sau luôn luôn dương với mọi x, y: B = x^2 - 2x + y^2 + 4y + 6 Lữ Ngọc My My

55

Toán Tổng hợp kiến thức

3/(1^2.2^2 ) + 5/(2^2.3^2 ) + 7/(3^2.4^2 ) + ... + 19/(9^2.10^2). Chứng minh nhỏ hơn 1

3/(1^2.2^2 ) + 5/(2^2.3^2 ) + 7/(3^2.4^2 ) + ... + 19/(9^2.10^2). Chứng minh nhỏ hơn 1 Lữ Ngọc My My

52

Toán Tổng hợp kiến thức

Tính tổng: 1/4 + 1/12 + 1/24 + 1/40 + 1/60 + 1/84

Tính tổng: 1/4 + 1/12 + 1/24 + 1/40 + 1/60 + 1/84 Lữ Ngọc My My

42

Toán Tổng hợp kiến thức

Tìm x; y nguyên 2xy + 2x - y = 8

Tìm x; y nguyên 2xy + 2x - y = 8 Lữ Ngọc My My

43

Tìm kiếm

tailieugiaovien.com.vn

Bài Viết Xem Nhiều

CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK

- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền

- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.

© 2021 Vietjack. All Rights Reserved.