Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 95)

Đề bài. Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (MA > MB). Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB, vẽ các tam giác đều AMC, BMD. Gọi E, F, I, K theo thứ tự là trung điểm của CM, CB, DM, DA. Chứng minh rằng EFIK là hình thang cân và $KF=\frac{1}{2}CD$

Lời giải:

Gọi EK giao AB tại P

Xét Δ CMB có EF là đường trung bình của Δ

⇒ EF // MB ⇒ EF // AB. (1)

Xét ΔΔADM có KI là đường trung bình của Δ

⇒ KI // AM ⇒⇒ KI // AB. (2)

Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác EFIK là hình thang (*)

Gọi P; Q lần lượt là trung điểm của AM và BN.

Xét Δ ACM có PE là đường trung bình của ΔΔ.

⇒ PE // AC mà AC // MD (Do $\widehat{A}=\widehat{M}={60}^{\circ }$ở vị trí đồng vị)

⇒ PE // MD (3)

Mặt khác ΔΔADM có PK là đường trung bình của ΔΔ.

⇒ PK // MD (4)

Từ (3) và (4) ⇒ P; E; K thẳng hàng mà PE // AC nên KE // AC (5).

Từ (2) và (5) ⇒ $\widehat{CAB}=\widehat{EKI}$ (Hai góc nhọn có cạnh tương ứng song song)

Mà $\widehat{CAB}={60}^{\circ }$(**)

Chứng minh tương tự ta được F; I; Q thẳng hàng mà QF // MC nên IF // MC;

Lại có MC // BD nên FI // BD (6).

Từ (2) và (6) ⇒ $\widehat{DBA}=\widehat{FIK}$ (Hai góc nhọn có cạnh tương ứng song song)

Mà $\widehat{DAB}={60}^{\circ }$

⇒ $\widehat{FIK}={60}^{\circ }$

Từ (*); (**) và (***)

⇒ EFIK là hình thang cân (Hình thang có 2 góc ở đáy bằng nhau là hình thang cân)

⇒ đcpm