Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 95)

Đề bài. Trong tam giác ABC lấy điểm O sao cho $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}$. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O lên AB, AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh tam giác MHK là tam giác cân.

Lời giải:

ΔHOB vuông tại H và ΔKOC vuông tại K có:

$\widehat{HBO}=\widehat{KCO} (\widehat{ABO}=\widehat{ACO}):gt)$

⇒ $\widehat{HOB}=\widehat{KOC}$ (1)

Gọi E, F lần lượt là trung điểm OB, OC

Xét ΔHOB vuông tại H có:

E là trung điểm cạnh huyền OB

⇒ EO = EH = EB

⇒ΔEOH cân tại E

⇒ $\widehat{HEO}={180}^{\circ }-2\widehat{EOH}$(2)

Xét ΔKOC vuông tại K có:

F là trung điểm cạnh huyền OC

⇒ FO = FK = FC

⇒ΔFOK cân tại F

⇒ $\widehat{KFO}={180}^{\circ }-2\widehat{FOK}$(3)

(1), (2), (3) ⇒ $\widehat{KFO}=\widehat{HEO}$

Mặt khác:

ΔOBC có: M,E,F lần lượt là trung điểm BC,OB,OC

⇒ OEMF là hình bình hành

⇒ OE = MF; OF = ME; $\widehat{OEM}=\widehat{OFM}$

⇒ HE = MF, KF = ME; $\widehat{HEO}+\widehat{OEM}=\widehat{KFO}+\widehat{OFM}$

⇒ $\widehat{HEM}=\widehat{KFM}$

Xét ΔHEM và ΔMFK có:

HE = MF(cmt)

$\widehat{HEM}=\widehat{KFM}$

ME = KF(cmt)

Do đó ΔHEM = ΔMFK (c.g.c)

⇒ MH = MK

⇒ ΔMHK cân tại M