Góc giữa hai đường thẳng là gì? Cách xác định và bài tập

Tưởng Thị Hồng Vân Ngày: 08-03-2024 Tổng hợp kiến thức

Tải xuống 7 6.7 K 11

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập Góc giữa hai đường thẳng là gì? Cách xác định và bài tập, tài liệu tuyển chọn các bài tập Góc giữa hai đường thẳng là gì? Cách xác định và bài tập đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và bài tập có lời giải, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Góc giữa hai đường thẳng là gì? Cách xác định và bài tập

1. Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian cho 2 đường thẳng a, b bất kỳ.

Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng , lần lượt song song với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa 2 đường thẳng và không thay đổi.

Do đó ta có định nghĩa:

Định nghĩa: Góc giữa 2 đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng $a^{'}$ và $b^{'}$ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng

Để xác định góc giữa 2 đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

Nếu $\vec{u}$ là vecto chỉ phương của đường thẳng a và $\vec{v}$ là vecto chỉ phương của đường thẳng b và $(\vec{u}; \vec{v}) = α$ thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng $α$ nếu $0 \leq α \leq 90 °$ và bằng $180 ° - α$ nếu $90 ° < α \leq 180 °$ . Nếu 2 đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng $0 °$ . Góc giữa 2 đường thẳng là góc có số đo $0 \leq α \leq 90 °$ .

3. Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng

Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian chúng ta cần nhớ các công thức sau:

■ Định lý hàm số cosin trong tam giác ABC: $\cos \hat{B A C} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C}$

Tương tự ta có: $\cos \hat{A B C} = \frac{B A^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. B A . B C}$ và $\cos \hat{A C B} = \frac{C A^{2} + C B^{2} - A B^{2}}{2. C A . C B}$

Chú ý: $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C \cos \hat{B A C} = \frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2})$

■ Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tính góc giữa hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ dựa vào công thức $\cos (\vec{A B}; \vec{C D}) = \frac{\vec{A B} . \vec{C D}}{|\vec{A B}| . |\vec{C D}|} \Rightarrow \cos (A B; C D) = \frac{|\vec{A B} . \vec{C D}|}{|\vec{A B}| . |\vec{C D}|}$

từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

4. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, và . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AN và CM.

Lời giải

Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra $A M = C E = \frac{a}{2}$ .

Khi đó $A E / / C M \Rightarrow (\hat{A E; C M}) = (\hat{A N; A E}) = φ .$

Mặt khác $S C = \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = 2 a \Rightarrow$ độ dài đường trung tuyến AN là $A N = \frac{S C}{2} = a . A E = C M = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Do $Δ A B C$ đều nên AMCE là hình chữ nhật.

Khi đó $C E ⊥ A E$ mà $C E ⊥ S A \Rightarrow C E ⊥ (S A E) \Rightarrow C E ⊥ S E .$

$Δ S E C$ vuông tại E có đường trung tuyến $E N = \frac{1}{2} S C = a .$

Ta có:

$\cos \hat{N A E} = \frac{A N^{2} + A E^{2} - N E^{2}}{2. A N . A E} = \frac{\sqrt{3}}{4} > 0 \Rightarrow \cos φ = \frac{\sqrt{3}}{4} .$

Cách 2: Ta có:

$\vec{A N} = \frac{1}{2} (\vec{A S} + \vec{A C}); \vec{C M} = \vec{A M} - \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \vec{A C} .$

Khi đó

$\vec{A N} . \vec{C M} = \frac{1}{2} (\vec{A S} + \vec{A C}) (\frac{1}{2} \vec{A B} - \vec{A C}) = \frac{1}{4} \vec{A B} . \vec{A C} - \frac{1}{2} A C^{2} = \frac{1}{4} a^{2} \cos 60 ° - \frac{a^{2}}{2} = \frac{- 3 a^{2}}{8} .$

Lại có:

$A N = \frac{S C}{2} = a; C M = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow \cos φ = \frac{|\frac{- 3 a^{2}}{8}|}{a . \frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4} .$

Bình luận: Dựa vào hai cách làm trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ để tính góc giữa hai đường thẳng giúp bài toán trở nên dễ ràng hơn rất nhiều!.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có \[SA = SB = SC = AB = a;AC = a\sqrt 2 \] và \[BC = a\sqrt 3 \]. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và AB.

Lời giải

Cách 1: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và AC. Khi đó ${\begin{cases} M P / / S C \\ N / / A B \end{cases}$ $\Rightarrow (\hat{S C; A B}) = (\hat{M P; M N}) .$

Ta có: $M N = \frac{A B}{2} = \frac{a}{2}; M P = \frac{S C}{2} = \frac{a}{2} .$

Mặt khác $Δ S A C$ vuông tại S $\Rightarrow S P = \frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

$\begin{array}{l} B P^{2} = \frac{B A^{2} + B C^{2}}{2} - \frac{A C^{2}}{4} = \frac{3}{2} a^{2} \\ \Rightarrow B P = \frac{a \sqrt{6}}{2} . \end{array}$

Suy ra

$\begin{array}{l} P N^{2} = \frac{P S^{2} + P B^{2}}{2} - \frac{S B^{2}}{4} = \frac{3 a^{2}}{4} \\ \Rightarrow N P = \frac{a \sqrt{3}}{2} . \end{array}$

Khi đó

$\begin{array}{l} \cos \hat{N M P} = \frac{M N^{2} + M P^{2} - N P^{2}}{2. M N . M P} = - \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \hat{N M P} = 120^{\circ} \Rightarrow φ = (\hat{S C; A B}) = 60^{\circ} . \end{array}$

Cách 2: Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{A B} = \vec{S B} - \vec{S A} \\ \Rightarrow \vec{A B} . \vec{S C} = (\vec{S B} - \vec{S A}) . \vec{S C} \\ = \vec{S B} . \vec{S C} - \vec{S A} . \vec{S C} \end{array}$

$= \frac{1}{2} (S B^{2} + S C^{2} - A C^{2}) - \frac{1}{2} (S A^{2} + S C^{2} - A B^{2}) = - \frac{a^{2}}{2} .$

Suy ra $\cos (S C; A B) = \frac{| \frac{- a^{2}}{2} |}{a . a} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow (S C; A B) = 60^{\circ} .$

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có

A B = x_{1}, C D = x_{2}; A C = y_{1},

B D = y_{2}, B C = z_{1}, A D = z_{2}

. Tính góc giữa hai đường thẳng BC và AD.

Lời giải

Ta có: $\vec{B C} . \vec{D A} = \vec{B C} (\vec{D C} + \vec{C D}) = \vec{C B} . \vec{C D} - \vec{C B} . \vec{C D}$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{2} (C B^{2} + C D^{2} - B D^{2}) - \frac{1}{2} (C B^{2} + C A^{2} - A B^{2}) \\ = \frac{1}{2} (A B^{2} + C D^{2} - B D^{2} - C A^{2}) . \end{array}$

Khi đó $\cos (B C; D A) = \frac{| \vec{B C} . \vec{D A} |}{B C . D A} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + y_{1}^{2} - y_{2}^{2}}{2 z_{1} z_{2}} .$

Đặc biệt: Nếu $A B = C D = x; A C = B D = y$ và $B C = A D = z$ ta đặt ${\begin{cases} α = (\hat{B C; A D}) \\ β = (\hat{A B; C D}) \\ γ = (\hat{A C; B D}) \end{cases}$ thì ta có:

$\cos α = \frac{x^{2} - y^{2}}{z^{2}}; \cos β = \frac{| y^{2} - z^{2} |}{x^{2}}; \cos γ = \frac{z^{2} - z^{2}}{y^{2}} .$

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh 2a,

S A ⊥ (A B C D)

và

S B = a \sqrt{5}

. Gọi M là trung điểm của AB và N là trung điểm của BC. Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng SM và DN .

Lời giải

■ Cách 1: Do $S A ⊥ (A B C D) .$

Ta có: $S A = \sqrt{S B^{2} - A B^{2}} = a$ . Gọi E là trung điểm của AD và I là trung điểm của AE. Dễ thấy BNDE là hình bình hành và MI là đường trung bình trong tam giác ABE. Khi đó $D N / / B E / / M I .$

Tacó: $A M = a; A I = \frac{A E}{2} = \frac{a}{2} .$

Mặt khác: $S M^{2} = S A^{2} + A M^{2} = 2 a^{2}; S I^{2} = \frac{5 a^{2}}{4} .$

$M I = A I^{2} + A M^{2} = \frac{5 a^{2}}{4}$ .

Do vậy $\cos \hat{S M I} = \frac{S M^{2} + M I^{2} - S I^{2}}{2. S M . M I} = \frac{\sqrt{10}}{5} = c o s (\hat{S M; D N}) .$

■ Cách 2: Ta có: $\vec{S M} . \vec{D N} = \vec{S M} . (\vec{S N} - \vec{S D}) = \vec{S M} . \vec{S N} - \vec{S M} . \vec{S D}$

$= \frac{1}{2} (S M^{2} + S N^{2} - M N^{2}) - \frac{1}{2} (S M^{2} + S D^{2} - M D^{2})$

Mặt khác:

$\begin{array}{l} S N^{2} = S A^{2} + A N^{2} \\ = S A^{2} + A B^{2} + B N^{2} = 6 a^{2}, \\ M N = \frac{A C}{2} = a \sqrt{2}, S D^{2} = 5 a^{2}, \\ M D^{2} = 5 a^{2} . \end{array}$

Do đó

$\begin{array}{l} \vec{S M} . \vec{D N} = 2 a^{2} \\ \Rightarrow \cos (S M; D N) = \frac{| 2 a^{2} |}{S M . D N} \\ = \frac{2 a^{2}}{a \sqrt{2} . a \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5} . \end{array}$

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có $A B = a; A D = a \sqrt{2}, S A ⊥ (A B C D)$ và $S A = 2 a .$

a) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng BC và SD.

b) Gọi I là trung điểm của CD. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AI.

Lời giải

a) Do $B C / / A D \Rightarrow (\hat{S D; B C}) = (\hat{S D; A D}) = \hat{S D A}$

$Δ S A D$ vuông tại A $\Rightarrow \cos \hat{S D A} = \frac{A D}{S D} = \frac{A D}{\sqrt{A D^{2} + S A^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} .$

b) Gọi M, K lần lượt là trung điểm của AB và SA thì MK là đường trung bình trong tam giác SAB.

Khi đó $M K / / S B$ , mặt khác $M C / / A I .$

Suy ra $(\hat{S B; A I}) = (\hat{M K; C M}) .$

Ta có: $M K = \frac{S B}{2} = \frac{\sqrt{S A^{2} + A B^{2}}}{2} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ ; $M C = \sqrt{M B^{2} + B C^{2}} = \frac{3 a}{2}$ ; $K C = \sqrt{K A^{2} + A C^{2}} = 2 a .$

Khi đó

$\begin{array}{l} c o s \hat{K M C} = \frac{K M^{2} + M C^{2} - K C^{2}}{2. K M . M C} = - \frac{1}{3 \sqrt{5}} \\ \Rightarrow c o s (\hat{S B; A I}) = \frac{1}{3 \sqrt{5}} . \end{array}$

Cách khác: Ta có: $\vec{S B} . \vec{A I} = \vec{S B} . (\vec{S I} - \vec{S A}) = \vec{S B} . \vec{S I} - \vec{S B} . \vec{S A}$

$= \frac{1}{2} (S B^{2} + S I^{2} - I B^{2}) - \frac{1}{2} (S B^{2} + S A^{2} - A B^{2})$

$\begin{array}{l} S B^{2} = 5 a^{2}; \\ S I^{2} = S A^{2} + A D^{2} + D I^{2} = \frac{25 a^{2}}{4}; \\ A I = \sqrt{A D^{2} + D I^{2}} = \frac{3 a}{2} = I B . \end{array}$

Suy ra

$\begin{array}{l} \vec{S B} . \vec{A I} = \frac{a^{2}}{2} \\ \Rightarrow \cos (S B; A I) = \frac{| \vec{S B} . \vec{A I} |}{S B . A I} \\ = \frac{\frac{a^{2}}{2}}{a \sqrt{5} . \frac{3 a}{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{5}} . \end{array}$

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, $\hat{A B C} = 60^{\circ}$ . Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng SC tạo với đáy một góc $30^{\circ}$ . Tính cosin góc giữa

a) SD và BC.

b) DH và SC, với H là chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy (ABCD).

Lời giải

a) Do $A B = B C = a$ , $\hat{A B C} = 60^{\circ} \Rightarrow Δ A B C$ đều cạnh a.

Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB cân tại S nên $S H ⊥ A B .$

Mặt khác ${\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C D) \\ A B = (S A B) \cap (A B C D) \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (A B C) .$

$Δ A B C$ đều nên $C H = \frac{a \sqrt{3}}{2}, (\hat{S C; (A B C)}) = \hat{S C H} = 30^{\circ}$

Ta có: $S H = H C \tan 30^{\circ} = \frac{a}{2} .$

$\begin{array}{l} \hat{A B C} = 60^{\circ} \Rightarrow \hat{B A D} = 120^{\circ} \\ \Rightarrow H D = \sqrt{A H^{2} + A D^{2} - 2 A H . A D \cos 120^{\circ}} \\ = \frac{a \sqrt{7}}{2} . \end{array}$

Suy ra $S A = \sqrt{S H^{2} + H A^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ , $S D = \sqrt{S H^{2} + H D^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Mặt khác $A D / / B C \Rightarrow (\hat{B C; S D}) = (\hat{A D; S D})$ , $\cos \hat{S D A} = \frac{D S^{2} + D A^{2} - S A^{2}}{2. D S . D A} = \frac{5 \sqrt{2}}{8} .$

Do vậy $c o s (\hat{B C; S D}) = \frac{5 \sqrt{2}}{8} .$

b) Ta có $\vec{S C} . \vec{D H} = \vec{S C} . (\vec{S H} - \vec{S D}) = \vec{S C} . \vec{S H} - \vec{S C} . \vec{S D}$

$= \frac{1}{2} (S H^{2} + S C^{2} - H C^{2}) - \frac{1}{2} (S C^{2} + S D^{2} - C D^{2}) = - \frac{3 a^{2}}{4}$

Mặt khác:

$\begin{array}{l} S C = \sqrt{S H^{2} + H C^{2}} = a \\ \Rightarrow \cos (S C; D H) = \frac{| \vec{S C}; \vec{D H} |}{S C . D H} \\ = \frac{\frac{3 a^{2}}{4}}{a . \frac{a \sqrt{7}}{2}} = \frac{3 \sqrt{7}}{14} . \end{array}$

Tài liệu có 7 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống

Từ khóa :

Toán 12 góc giữa hai đường thẳng

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Tìm kiếm