Chuyên đề Phương trình nghiệm nguyên 2023 hay, chọn lọc

Hoài Phạm Thị Thu Ngày: 08-03-2024 Tổng hợp kiến thức

Tải xuống 24 6.5 K 64

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập Phương trình nghiệm nguyên Toán lớp 8, tài liệu bao gồm 24 trang, tuyển chọn 4 dạng bài tập Phương trình nghiệm nguyên đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và 28 bài tập có lời giải, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Tài liệu Phương trình nghiệm nguyên - Đại số toán 8 gồm các nội dung sau:

I. Phương pháp giải

- Tóm tắt lý thuyết ngắn gọn

II. Một số ví dụ

- Gồm 10 ví dụ minh họa đa dạng cho 4 dạng bài Phương trình nghiệm nguyên có lời giải chi tiết

III. Bài tập vận dụng

- Gồm 28 bài tập vận dụng có lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng bài tập Phương trình nghiệm nguyên

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

I. Phương pháp giải

1. Phương trình nghiệm nguyên là phương trình có nhiều ẩn số, tất cả các hệ số của phương trình đều là số nguyên. Các nghiệm cần tìm cũng là số nguyên. (Phương trình nghiệm nguyên còn gọi là phương trình Diophantus - mang tên nhà toán học cổ Hy Lạp vào thế kỷ thứ II).

2. Phương trình nghiệm nguyên không có công thức giải tổng quát, chỉ có cách giải của một số dạng. Trong chuyên đề này được giới thiệu qua một số ví dụ và bài tập cụ thể.

3. Cách giải phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng, đòi hỏi học sinh phân tích, dự đoán, đối chiếu và tư duy sáng tạo, lôgic để tìm nghiệm.

II. Một số ví dụ

1. Dạng phương trình bậc nhất 2 ẩn $a x + b y = c$ ( $a, b, c \in Z$ ; a, b không đồng thời bằng 0).

Ta có định lý sau: Điều kiện cần và đủ để phương trình $a x + b y = c$ ( $a, b, c \in; a, b \neq 0$ ) có nghiệm nguyên là ước số chung lớn nhất của a và b là ước của c. (tức là $(a, b) | c$ ).

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình:

a, $x - 3 y = 5$ (1) b, $2 x - 5 y = 20$ (2)

c, $3 x - 7 y = 24$ (3) d, $20 x - 11 y = - 49$ (4)

Tìm cách giải: Câu a) hệ số của ẩn x là 1, ta có thể tính ngay ẩn x theo y. Khi đó y lấy các giá trị nguyên thì chắc chắn x nguyên. Câu b); c) về giá trị tuyệt đối thì hệ số của x nhỏ hơn hệ số của y. Do đó ta tính x theo y. Ta tách phần nguyên, đặt phần phân số bằng ẩn số mới và đưa về phương trình mới có các hệ số nhỏ hơn hệ số của phương trình ban đầu. Tiếp tục cách giải như trên cho đến khi có một ẩn số có hệ số bằng 1 và được tính theo ẩn số kia có hệ số nguyên. Sau đó tính x, y theo ẩn số mới cuối cùng bằng cách tính ngược từ dưới lên.

d) Về giá trị tuyệt đối thì hệ số của y nhỏ hơn hệ số của x. Do đó ta tính y theo x. Tiếp tục làm như b).

Giải

a) Từ (1) ta có: $x = 5 + 3 y$ . Nếu $y = t \in Z$ thì $x \in Z$

Vậy phương trình (1) có nghiệm nguyên tổng quát là $\{\begin{cases} x = 5 + 3 t \\ y = t \end{cases} (t \in Z)$

Muốn tìm các nghiệm nguyên bằng số cụ thể thì ta chỉ việc cho t các giá trị nguyên cụ thể:

Thí dụ với t = 2 thì (x = 11; y = 2); vói t = - 3 thì (x = - 9; y = - 3),...)

b) Từ (2) ta có

\[2x = 5y + 20 \Leftrightarrow x = 10 + 2y + \frac{y}{2}\]

Để $x \in \mathbb{Z}$thì $y \in \mathbb{Z}$và $\frac{y}{2} \in \mathbb{Z}$.

Do đó đặt $\frac{y}{2} = t\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

ta sẽ có $y = 2t$ và \[x = 10 + 2.\left( {2t} \right) + t = 10 + 5t\]

Vậy phương trình (2) có nghiệm nguyên tổng quát là $\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 5t\\y = 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

c) Cách 1: Tương tự b)

Cách 2: Nhận xét:

ƯCLN(3;24) = 3 nên đặt $y = 3t\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Ta có

\[\begin{array}{l}3x - 7y = 24 \Leftrightarrow 3x - 21t = 24\\ \Leftrightarrow x - 7t = 8 \Leftrightarrow x = 8 + 7t\end{array}\]

Do đó phương trình (3) có nghiệm tổng quát là $\left\{ \begin{array}{l}x = 8 + 7t\\y = 3t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

\[\begin{array}{l}20x - 11y = - 49\\ \Leftrightarrow 11y = 20x + 49\\ \Leftrightarrow y = \frac{{20x + 49}}{{11}}\end{array}\]

Tách phần nguyên ta có: $y = x + 4 + \frac{{9x + 5}}{{11}}$

Để $y \in \mathbb{Z}$thì $x \in \mathbb{Z}$và $\frac{{9x + 5}}{{11}} \in \mathbb{Z}$.

Đặt $\frac{{9x + 5}}{{11}} = t\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Ta có

$\begin{array}{l}9x + 5 = 11t\\ \Leftrightarrow x = \frac{{11t - 5}}{9} = t + \frac{{2t - 5}}{9}\end{array}$.

Đặt $\frac{{2t - 5}}{9} = u,\left( {u \in \mathbb{Z}} \right)$

Ta có

$\begin{array}{l}2t - 5 = 9u\\ \Leftrightarrow t = \frac{{9u + 5}}{2} = 4u + 2 + \frac{{u + 1}}{2}\end{array}$

Đặt $\frac{{u + 1}}{2} = v,\left( {v \in \mathbb{Z}} \right)$

Ta có $u + 1 = 2v \Leftrightarrow u = 2v - 1$

Ta thấy $v \in \mathbb{Z};u \in \mathbb{Z}$ và $t \in \mathbb{Z}$ .

Từ đó $x \in \mathbb{Z}$và $y \in \mathbb{Z}$.

Tính ngược từ dưới lên ta đượ \[t = 4\left( {2v - 1} \right) + 2 + v = 9v - 2\] .

\[x = t + u = \left( {9v - 2} \right) + \left( {2v - 1} \right) = 11v - 3\]

\[\begin{array}{l}y = x + 4 + t\\ = \left( {11v - 3} \right) + 4 + \left( {9v - 2} \right)\\ = 20v - 1\end{array}\] .

Vậy nghiệm nguyên tổng quát của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 11v - 3\\y = 20v - 1\end{array} \right.\left( {v \in \mathbb{Z}} \right)$

Chú ý: Qua bốn thí dụ trên ta có thể rút ra phương pháp giải sau:

Bước 1. Tính ẩn có giá trị tuyệt đối của hệ số nhỏ hơn theo ẩn kia.

Bước 2. Ta tách phần nguyên, đặt phần phân số bằng ẩn số mới và đưa về phương trình mới có các hệ số nhỏ hơn hệ số của phương trình ban đầu. Tiếp tục cách giải như trên cho đến khi có một ẩn số có hệ số bằng 1 và được tính theo ẩn số kia có hệ số nguyên. (Việc tách phần nguyên cần linh hoạt sao cho giá trị tuyệt đối của hệ số của ẩn trong phần phân số nhỏ nhất)

Bước 3. Sau đó tính x, y theo ẩn số mới cuối cùng bằng cách tính ngược từ dưới lên.

(Nếu một trong hai hệ số và hệ số tự do có ƯSCLN = k > 1; $k \in \mathbb{Z}$ thì ta có thể đặt một ẩn bằng ẩn mới \[kt{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\] - (xem ví dụ 1c) để rút ngắn các bước giải phương trình.)

Ví dụ 2. Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình:

a) \[7x + 3y = 65\] .(1);

b) \[5x + 4y = 12\] . (2);

c) \[3x - 8y = 13\] .(3).

* Tìm cách giải: Trước hết ta tìm nghiệm nguyên tổng quát của các phương trình. Sau đó dựa vào biểu thức nghiệm, lý luận, giải tìm ra giá trị nguyên của ẩn số mới cuối cùng để x > 0 và y > 0.

Giải

a)\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3y = 65 - 7x\] hay $y = \frac{{65 - 7x}}{3}$

Tách phần nguyên $y = 21 - 2x + \frac{{2 - x}}{3}$ .

Đặt $\frac{{2 - x}}{3} = t,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Ta có $x = 2 - 3t$ và $y = 21 - 2\left( {2 - 3t} \right) + t = 17 + 7t$

Do đó phương trình (1) có nghiệm nguyên tổng quát là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 17 + 7t\end{array} \right.,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Để x>0 và y>0 ta phải có

$\left\{ \begin{array}{l}2 - 3t > 0\\17 + 7t > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - \frac{{17}}{7} < t < \frac{2}{3}$

Từ đó có t = 0; - 1; - 2 ta có các nghiệm nguyên dương của phương trình (1) là:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 17\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 10\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = 3\end{array} \right.$

b) Do ƯCLN(4; 12) = 4.

Do đó ta đặt \[x = 4t,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]

Ta có

\[\begin{array}{l}20t + 4y = 12 \Leftrightarrow 5t + y = 3\\ \Leftrightarrow y = 3 - 5t\end{array}\]

Do đó phương trình (3) có nghiệm nguyên tổng quát là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 4t\\y = 3 - 5t\end{array} \right.,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]

Để x > 0 và y > 0 ta phải có \[\left\{ \begin{array}{l}4t > 0\\3 - 5t > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < t < \frac{3}{5}\] không có giá trị nguyên nào của t thỏa mãn.

Vậy phương trình (2) không có nghiệm nguyên dương.

c) Ta có:

\[\begin{array}{l}3x - 8y = 13 \Leftrightarrow 3x = 8y + 13\\ \Leftrightarrow x = \frac{{8y + 13}}{3}\end{array}\]

Tách phần nguyên được $x = 3y + 4 + \frac{{1 - y}}{3}$ .

Đặt $\frac{{1 - y}}{3} = t,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Ta có \[y = 1 - 3t\] và \[x = 3\left( {1 - 3t} \right) + 4 + t = 7 - 8t\].

Nghiệm nguyên tổng quát của phương trình là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 7 - 8t\\y = 1 - 3t\end{array} \right.,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\]

Để x > 0 và y > 0 ta phải có: \[\left\{ \begin{array}{l}7 - 8t > 0\\1 - 3t > 0\end{array} \right.\]

Với \[7 - 8t > 0 \Leftrightarrow t < \frac{7}{8}\] và $1 - 3t > 0 \Leftrightarrow t < \frac{1}{3}$

Kết hợp được $t < \frac{1}{3}$(*). Lần lượt cho t lấy các giá trị nguyên 0; - 1; - 2; - 3... thỏa mãn (*) ta tìm được các giá trị tương ứng của x và y là nghiệm của phương trình (3). Vậy phương trình (3) có vô số nghiệm nguyên dương.

2. Dạng phương trình bậc nhất nhiều ẩn \[{a_1}{x_1} + {a_2}{x_2} + ... + {a_n}{x_n} = c\] (\[{a_1};{a_2};...;{a_n};c \in \mathbb{Z};\] \[{\rm{ }}{a_1};{a_2};...;{a_n}\]không đồng thời bằng 0).

Ta có định lý sau: Điều kiện cần và đủ để phương trình \[{a_1}{x_1} + {a_2}{x_2} + ... + {a_n}{x_n} = c\](\[{a_1};{a_2};...;{a_n};c \in \mathbb{Z};\] \[{\rm{ }}{a_1};{a_2};...;{a_n} \ne 0\]) có nghiệm nguyên là ước số chung lớn nhất của a₁; a₂;...; a_n là ước của c. (Tức là \[\left. {\left( {{a_1},{\rm{ }}{a_2},...,{\rm{ }}{a_n}} \right)} \right|c\]).

Ví dụ 3. Giải phương trình trên tập số nguyên:

\[9x + 13y + 5z = 6\] . (1)

Giải

\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + 5\left( {y + z} \right) + 8\left( {x + y} \right) = 6\]

Đặt \[u = y + z;{\rm{ }}v = x + y\] khi đó

\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + 5u + 8v = 6\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow x = 6 - 5u - 8v;\\{\rm{ }}y = v - x = v - 6 + 5u + 8v\\ = 5u + 9v - 6\end{array}\]

Và \[z = u - y = u - 5u - 9v + 6 = 6 - 4u - 9v\]

Vậy nghiệm tổng quát của (1) là $\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - 5u - 8v\\y = - 6 + 5u + 9v\\z = 6 - 4u - 9v\end{array} \right.,\left( {u \in \mathbb{Z};v \in \mathbb{Z}} \right)$

3. Dạng phương trình bậc cao một ẩn

Ví dụ 4. Tìm nghiệm nguyên của các phương trình:

a) \[2{x^2} + x - 21 = 0\]. (1);

b) \[{x^3} - 5x = 2\left( {x - 3} \right)\] .(2);

c) \[{x^4} + 2{x^3} - {x^2} - 8x = 12\] . (3).

* Tìm cách giải: Ta chuyển vế đưa về dạng \[A\left( x \right) = 0\] sau đó phân tích \[A\left( x \right)\] thành nhân tử.

Giải

\[\begin{array}{l}2{x^2} + x - 21 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x + 7x - 21 = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x - 3) + 7(x - 3) = 0\\ \Leftrightarrow (x - 3)(2x + 7) = 0\end{array}\]

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 7 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3,5(loa\"i i)\\x = 3\end{array} \right.$

Nghiệm nguyên của (1) là x = 3

b) \[{x^3} - 5x = 2\left( {x - 3} \right) \Leftrightarrow {x^3} - 7x + 6 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) + x\left( {x - 1} \right) - 6\left( {x - 1} \right) = 0\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^2} + x - 6} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\end{array}\]

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\x - 2 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 2\\x = 1\end{array} \right.$

Tập nghiệm nguyên của (2) là $S = \left\{ { - 3;1;2} \right\}$

c) \[{x^4} + 2{x^3} - {x^2} - 8x = 12\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^2} + 2{x^3} - 8x + 3{x^2} - 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{\rm{x}} - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3} \right) = 0\end{array}\] .

Do \[{x^2} + 2x + 3 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 2 > 0,\forall x\]nên nghiệm nguyên của phương trình (3) là \[x = \pm 2\] .

Ví dụ 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

a) $\frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^2} + 4x + 5}} + \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 4x + 6}} = \frac{7}{6}$ (1)

b) \[{\left( {x + 3} \right)^3} + {\left( {x + 4} \right)^3} + {\left( {x + 5} \right)^3} = {\left( {x + 6} \right)^3}\] . (2)

Xem thêm