Chuyên đề phương trình bậc hai một ẩn 2024 đầy đủ, chi tiết

Tải xuống 101 4.7 K 26

Tailieumoi.vn xin giới thiệu tài liệu Chuyên đề phương trình bậc hai một ẩn 2024 đầy đủ, chi tiết. Tài liệu gồm 103 trang hướng dẫn giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn, các dạng toán liên quan đến phương trình bậc hai và các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai. 

Chuyên đề phương trình bậc hai một ẩn

1. Nhắc lại về phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

Tính chất của hàm số y= ax2

- Nếu a > 0 thì hàm số y= ax2 nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0;

y > 0 với mọi x ≠ 0

y = 0 khi x = 0, y = 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số

- Nếu a < 0 : hàm số y= ax2 nghịch biến khi x > 0, đồng biến khi x < 0;

y < 0 với mọi x ≠ 0

y = 0 khi x = 0, y = 0 là giá trị lớn nhất của hàm số

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Chuyên đề Toán lớp 9

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y= (m2 + 2m + 2)x2

a) Chứng tỏ rằng hàm số nghịch biến với mọi x < 0, đồng biến với mọi x > 0.

b) Biết rằng khi x= ±2 thì y = 8. Tìm m.

Hướng dẫn giải

a) Hàm số đã cho có dạng y=ax2 trong đó a= m2 + 2m + 2 =(m + 1)2 + 1 > 0 với mọi m. Do đó:

+ Hàm số đã cho nghịch biến với mọi x < 0.

+ Hàm số đã cho đồng biến với mọi x > 0.

b) Thay x= ±2 thì y = 8

(m2 + 2m + 2)(±2)2 = 8 ⇔ (m2 + 2m + 2).4 = 8

⇔ (m2 + 2m + 2)= 2 ⇔ m2 + 2m = 0 => m = 0 hoặc m = -2.

Vậy m = 0 hoặc m = -2.

Ví dụ 2: 

Chuyên đề Toán lớp 9

Hướng dẫn giải

Chuyên đề Toán lớp 9

Ví dụ 3: Chọn đáp án đúng.

Tại x = 4 hàm số y= -1/2 x2 có giá trị bằng:

A. 8

B. -8

C. -4

D. 4

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng B

Ví dụ 4: Giải phương trình sau

a, 5x2 + √3 x - 1 = 0

b, x2 - (2 + √3)x + 2√3 = 0

c, 4x2 + 4x + 1 = 0

d, 2x2 -2√2x + 1 = 0

Hướng dẫn giải

Chuyên đề Toán lớp 9Chuyên đề Toán lớp 9Chuyên đề Toán lớp 9

Ví dụ 5: Cho phương trình mx2 - 2(m-1)x + (m+1) = 0 (1) với m là tham số.

a) Giải phương trình với m = -2.

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

c) Tìm (1) để phương trình (1) có 1 nghiệm.

Hướng dẫn giải

Chuyên đề Toán lớp 9

Ví dụ 6: Với giá trị nào của k thì phương trình sau có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.

a) x2 - 2(k-4)x + k2 = 0

b) (2k-7)x2 + 2(2k +5)x - 14k + 1 = 0

Hướng dẫn giải

Chuyên đề Toán lớp 9

Ví dụ 7: Tìm các giá trị của m để phương trình sau vô nghiệm: mx2 + 2m2x + 1 = 0 (1)

Hướng dẫn giải

Xét m = 0: (1) có dạng 0x + 1 = 0 phương trình vô nghiệm

Xét m ≠ 0: (1) là phương trình bậc hai, vô nghiệm khi Δ' < 0

Δ' = m4 - m = m(m-1)(m2 + m +1)

Có (m2 + m +1) > 0 nên Delta;' < 0 ⇔ m(m-1) < 0 ⇔ 0 < m < 1

Kết luận: Phương trình (1) vô nghiệm khi 0 < m < 1 .

2. Các dạng bài tập về Phương trình bậc hai một ẩn

Dạng 1.1: Giải phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Bước 1: Xác định các hệ số a; b; c (hoặc a; b'; c) của phương trình bậc hai ax2 + bx + c.

Bước 2: Tính Δ = b2 - 4ac (hoặc Δ' = b'2 - ac ).

+ TH1: Δ < 0, phương trình vô nghiệm.

+ TH2: Δ = 0, phương trình có nghiệm kép Cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

+ TH3: Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt Cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình (nếu có).

Bước 4: Kết luận.

Dạng 1.2: Kiểm tra một giá trị x0 có là nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) hay không.

Bước 1: Thay giá trị x0 vào vế trái của phương trình: ax0 + bx0 + c

Bước 2: Kết luận.Tính vế trái. Nếu kết quả bằng 0 thì x0 là một nghiệm của phương trình.

Bước 3: Kết luận.

Định lý Vi-ét: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 (phân biệt hoặc trùng nhau) thì tổng các nghiệm Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án và tích các nghiệm Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án.

Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Dạng 2.1: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

Bước 2: Tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Vi-ét.

Bước 3: Sử dụng hệ thức Vi-ét, kết hợp biến đổi đẳng thức, bất đẳng thức để tìm tham số.

Bước 4: Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Dạng 2.2: Tìm tham số và tìm nghiệm còn lại khi biết trước một nghiệm x0 của phương trình.

Bước 1: Thay giá trị x0 vào phương trình để tìm tham số.

Bước 2: Thay giá trị của tham số hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại.

Bước 3: Kết luận.

Dạng 2.3: Khi phương trình bậc hai có nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

Bước 2: Tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Vi-ét.

Bước 3: Tính m theo S và P.

Bước 4: Khử m và tìm ra hệ thức.

Bước 5: Kết luận.

Dạng 2.4. Áp dụng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).

+) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 và x2 = Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án.

+) Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = -1 và x2 = Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án.

Dạng 2.5. Tìm hai số khi biết tổng và tích

Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số đó là nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0 .

Điều kiện để có u và v là S2 - 4P ≥ 0.

Dạng 3.1: Giải và biện luận phương trình theo tham số m

Bước 1: Xác định các hệ số a; b; c (hoặc a; b'; c).

Bước 2: Giải phương trình theo m:

+) Với giá trị của m mà a = 0, giải phương trình bậc nhất.

+) Với giá trị của m mà a ≠ 0, giải phương trình bậc hai: Tính Δ = b'2 - ac (hoặc Δ' = b2 - 4ac), xét các trường hợp của Δ chứa tham số và tìm nghiệm theo tham số.

Bước 3: Kết luận.

Biện luận phương trình:

- Phương trình có nghiệm khi:

+) Với giá trị của m mà a = 0, phương trình bậc nhất có nghiệm.

+) Với giá trị của m mà a ≠ 0, phương trình bậc hai có nghiệm.

- Phương trình có một nghiệm khi:

+) Với giá trị của m mà a = 0, phương trình bậc nhất có nghiệm.

+) Với giá trị của m mà a ≠ 0, phương trình bậc hai có nghiệm kép.

- Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi: Giá trị của m mà a ≠ 0, phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt.

Dạng 3.2: Xác định dấu các nghiệm của phương trình

Bước 1: Xác định hệ số.

Bước 2: Tính Δ = b2 - 4ac (hoặc Δ' = b2 - 4ac) để kiểm tra phương trình có nghiệm hay không.

Bước 3: Trong trường hợp phương trình có nghiệm (Δ ≥ 0 hoặc Δ' ≥ 0), tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Vi-ét để xét dấu các nghiệm của phương trình.

+) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu: P > 0.

+) Phương trình có hai nghiệm dương: Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án.

+) Phương trình có hai nghiệm âm: Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án.

+) Phương trình có hai nghiệm trái dấu: P < 0.

Chú ý: Phương trình có hai nghiệm trái dấu chỉ cần xét P < 0 hoặc a.c < 0.

Bước 4: Kết luận.

Dạng 3.3: Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

Dạng 3.3.1: Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện về dấu hoặc thỏa mãn đẳng thức, bất đẳng thức liên hệ giữa các nghiệm

Bước 1: Tìm điều kiện a ≠ 0 (nếu cần) và điều kiện để phương trình có nghiệm.

Bước 2: Tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Vi-ét.

Bước 3: Sử dụng hệ thức Vi-ét, kết hợp biến đổi đẳng thức, bất đẳng thức để tìm tham số.

Bước 4: Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Dạng 3.3.2: Tìm tham số m để phương trình có một nghiệm là x0.

Bước 1: Thay giá trị x0 vào phương trình để tìm tham số.

Bước 2: Thay giá trị của tham số vào phương trình hoặc hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại.

Bước 3: Kết luận.

Dạng 3.3.3: Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.

Bước 1: Tìm điều kiện để các phương trình có nghiệm.

Bước 2: Tìm nghiệm chung và tìm tham số: Có thể giả sử x0 là nghiệm chung, lập hệ phương trình trình hai ẩn (x0 và tham số) và giải hệ phương trình.

Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tập nghiệm của phương trình x2 + 3x - 1 = 0 là:

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn C

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Ví dụ 2: Giá trị nào sau đây là nghiệm của phương trình 3x2 + 7x + 2 = 0

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn B

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Ví dụ 3: Phương trình x2 - 2mx + m = 0 với m = 1 có tập nghiệm là:

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn C

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Ví dụ 4: Cho phương trình bậc hai (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (m là tham số). Các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm nguyên là:

Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn A

Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Ví dụ 5: Phương trình x2 + (2m + 1)x + 3m = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là x1 = 3, nghiệm còn lại là x2 bằng:

Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn D

Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Ví dụ 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình x2 - (m + 3)x + 2m - 5 = 0 không phụ thuộc vào m.

Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn A

Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Ví dụ 7: Cho phương trình x2 - 2x - 8 = 0 có hai nghiệm x1 và x2. Phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là y1 = x1 - 3 và y2 = x2 - 3 là:

Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn C

Hệ thức vi-et và ứng dụng để giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay, có đáp án

Ví dụ 8: Giải phương trình x2 - 2x + 1 - m2 = 0 với m là tham số, m ≠ 0.

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn A

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Ví dụ 9: Cho phương trình x2 + √7x + 1 = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn B

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Ví dụ 10: Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình x2 - 2x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x12.x22 ≤ 4 là:.

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn B

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Ví dụ 11: Phương trình bậc hai mx2 + (2m + 1)x + 3 = 0 có một nghiệm là x = -1. Giá trị của m và nghiệm còn lại là:

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn A

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Ví dụ 12: Cho hai phương trình bậc hai x2 + 2x + m = 0 (1) và x2 + mx + 2 = 0 (2) (với m là tham số). Tìm m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn B

Cách giải phương trình bậc hai chứa tham số cực hay, có đáp án

Ví dụ 13: Cho phương trình x2 + mx - 6m2 = 0 với m là tham số. Chọn khẳng định sai:

Cách giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn A

Cách giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m cực hay, có đáp án

Ví dụ 14: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + m + 2 = 0. Chọn kết luận đúng.

Cách giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn B

Cách giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m cực hay, có đáp án

Ví dụ 15: Khi phương trình x2 + (m + 1)x - m = 0 có nghiệm kép, giá trị của nghiệm kép là:

Cách giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn C

Cách giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m cực hay, có đáp án

Ví dụ 16: Cho phương trình x2 - 2x + 1 - m2 = 0 với m là tham số. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn D

Cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai cực hay, có đáp án

Ví dụ 17: Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phương trình x2 - 2(m + 7)x + m2 - 4 = 0 có hai nghiệm trái dấu là:

Cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn C

Cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai cực hay, có đáp án

Ví dụ 18: Phương trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu nhau khi:

Cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn C

Cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai cực hay, có đáp án

Ví dụ 19: Tìm m để phương trình x2 - 2(m - 2)x - 6m = 0 có nghiệm x1; x2 sao cho biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.

Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn D

Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước cực hay, có đáp án

Ví dụ 20:Tìm m để mx2 - 2(m + 1)x + m + 3 = 0 là phương trình bậc hai nhận x = -2 là nghiệm.

Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn A

Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước cực hay, có đáp án

Ví dụ 21: Tìm m để hai phương trình x2 + x + m - 2 = 0 (1) và x2 + (m - 2)x + 1 = 0 (2) có nghiệm chung.

Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước cực hay, có đáp án

Lời giải

Chọn D

Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước cực hay, có đáp án

Tài liệu có 101 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống
Đánh giá

0

0 đánh giá

Tải xuống