Cấp số nhân là gì? Công thức tính cấp số nhân và bài tập ví dụ

Quý Lê Xuân Ngày: 08-03-2024 Tổng hợp kiến thức

Tải xuống 13 5 K 13

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ tài liệu về Cấp số nhân, tài liệu bao gồm có lý thuyết, công thức tính cấp số nhân, tính chất và một số bài tập vận dụng giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Cấp số nhân là gì? Công thức tính cấp số nhân và bài tập ví dụ

1. Định nghĩa Cấp số nhân

$u_{n}$ là cấp số nhân $\Leftrightarrow u_{n + 1} = u_{n} . q$ , với $n \in N^{*}$

Công bội $q = \frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ .

Ví dụ:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ thỏa mãn $u_{1} = 5, q = 3$ . Tính $u_{2}$ .

Ta có: $u_{2} = q u_{1} = 3.5 = 15$ .

2. Số hạng tổng quát của Cấp số nhân

$u_{n} = u_{1} . q^{n - 1}, (n \geq 2)$

Ví dụ:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ thỏa mãn $u_{1} = 5, q = 3$ . Tính $u_{5}$ .

Ta có:

$u_{5} = u_{1} q^{4} = {5.3}^{4} = 405$ .

3. Tính chất của Cấp số nhân

$u_{k}^{2} = u_{k - 1} . u_{k + 1}$ hay $| u_{k} | = \sqrt{u_{k - 1} . u_{k + 1}},$ với $k \geq 2$

Ví dụ:

Cho bốn số $x; 5; 25; y$ theo thứ tự đó lập thành một CSN. Tìm $x, y$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} 5^{2} = x .25 \Leftrightarrow x = 1 \\ 25^{2} = 5 y \Leftrightarrow y = 125 \end{array}$

Vậy $x = 1, y = 125$ .

4. Tổng n số hạng đầu của Cấp số nhân

$S_{n} = \frac{u_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1}$ $= \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$ , $(q \neq 1)$ .

Ví dụ:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ thỏa mãn $u_{1} = 5, q = 3$ . Tính $S_{10}$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} S_{10} = \frac{u_{1} (1 - q^{10})}{1 - q} \\ = \frac{5. (1 - 3^{10})}{1 - 3} \\ = \frac{5 (3^{10} - 1)}{2} \end{array}$

5. Các dạng toán và ví dụ minh họa

Dạng 1. Xác định cấp số nhân và các yếu tố của cấp số nhân

Phương pháp giải:

- Dãy số (u_n) là một cấp số nhân khi và chỉ khi $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = q$ không phụ thuộc vào n và q là công bội của cấp số nhân đó.

- Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Ta thiết lập một hệ phương trình hai ẩn u₁ và q. Tìm u₁ và q.

- Tìm số hạng thứ n dựa vào công thức tổng quát: u_n = u₁ . qn^-1 hoặc công thức truy hồi u_n = u_{n – 1}. q.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân. Nếu là cấp số nhân hãy xác định số hạng đầu tiên và công bội:

a) 1; – 2; 4; – 8; 16; – 32; 64

b) Dãy (u_n): u_n = n.6ⁿ⁺¹

c) Dãy (v_n): v_n = (– 1)ⁿ.3²ⁿ.

Lời giải

a) Ta thấy $\frac{- 2}{1} = \frac{4}{- 2} = \frac{- 8}{4} = \frac{16}{- 8} = \frac{- 32}{16} = \frac{64}{- 32} = - 2$

Nên dãy số trên là cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u₁ = 1 và công bội q = – 2.

b) Ta có: u_n = n. 6ⁿ⁺¹ thì u_n₊₁ = (n + 1).6ⁿ⁺²

Xét $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{(n + 1) 6^{n + 2}}{n {.6}^{n + 1}} = \frac{6 (n + 1)}{n}$ phụ thuộc vào n

Nên dãy số trên không là cấp số nhân.

c) Ta có: v_n = (– 1)ⁿ. 3²ⁿ thì v_n₊₁ = (– 1)ⁿ⁺¹. 3²⁽ⁿ⁺¹⁾

Xét $\frac{v_{n + 1}}{v_{n}} = \frac{{(- 1)}^{n + 1} 3^{2 n + 2}}{{(- 1)}^{n} 3^{2 n}} = (- 1) {.3}^{2} = - 9$ không đổi.

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với số hạng đầu tiên u₁ = (– 1)¹.3²^.1 = – 9 và công bội q = – 9.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: $\{\begin{cases} u_{1} + u_{5} = 51 \\ u_{2} + u_{6} = 102 \end{cases}$

a) Xác định công bội và hạng đầu tiên của cấp số nhân trên.

b) Xác định công thức tổng quát của cấp số nhân trên.

c) Tìm số hạng thứ 15 của cấp số cộng trên.

d) Số 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân.

Lời giải

a) Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho. Theo đề bài, ta có

$\{\begin{cases} u_{1} + u_{5} = 51 \\ u_{2} + u_{6} = 102 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + u_{1} q^{4} = 51 \\ u_{1} q + u_{1} q^{5} = 102 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} (1 + q^{4}) = 51 \\ u_{1} q (1 + q^{4}) = 102 \end{cases}$

Lấy hai vế của phương trình dưới chia cho hai vế của phương trình trên ta được q = 2.

Suy ra $u_{1} = \frac{51}{1 + q^{4}} = \frac{51}{1 + 2^{4}} = 3$

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu tiên là u₁ = 3 và công bội q = 2.

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân là u_n = u₁. q^n–1 nên u_n = 3.2^n–1.

c) Số hạng thứ 15 của cấp số nhân là: u₁₅ = 3.2¹⁴ = 49152.

d) Giả sử số 12288 là số hạng thứ n của cấp số nhân, ta có:

$u_{n} = 12288 \Leftrightarrow {3.2}^{n - 1} = 12288 \Leftrightarrow 2^{n - 1} = 2^{12} \Leftrightarrow n = 13$ .

Vậy số 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.

Dạng 2. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân. Chứng minh cấp số nhân

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Ba số hạng u_{k – 1}; u_k; u_{k + 1} là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi $u_{k}^{2} = u_{k - 1} . u_{k + 1}$ .

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm x sao cho các số 1; x²; 6 – x² lập thành cấp số nhân.

Lời giải

Ta có: 1; x²; 6 – x² lập thành cấp số nhân

$\Leftrightarrow x^{4} = 1. (6 - x^{2}) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = 2 \\ x^{2} = - 3 (L o ạ i) \end{array} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{2}$

Vậy $x = \pm \sqrt{2}$ thì các số trên lập thành cấp số nhân.

Ví dụ 2: Các số 5x – y; 2x + 3y; x + 2y lập thành cấp số cộng; các số (y + 1)²; xy + 1 ; (x – 1)² lập thành cấp số nhân. Tìm x và y.

Lời giải

Cấp số nhân và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Vậy $(x; y) \in \{(0; 0); (\frac{10}{3}; \frac{4}{3}); (- \frac{3}{4}; - \frac{3}{10})\}$ .

Dạng 3. Tính tổng của một cấp số nhân

Phương pháp giải:

Tổng n số hạng đầu tiên S_n được xác định bởi công thức: $S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}, (q \neq 1) .$

Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁; … khi đó S_n = n.u₁.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (u_n)

a) (u_n) có số hạng tổng quát là: u_n = 2.( –3)^k. Tính S₁₅.

b) (u_n) có số hạng đầu là 18, số hạng thứ hai kia là 54, số hạng cuối bằng 39366. Tính tổng của tất cả các số hạng của cấp số nhân.

Lời giải

a) (u_n) có số hạng tổng quát là: u_n = 2. (– 3)^k thì u₁ = 2 và q = – 3

Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là

$S_{15} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q} = \frac{2. [1 - {(- 3)}^{15}]}{1 - (- 3)} = \frac{3^{15} + 1}{2}$

b) Số hạng đầu tiên u₁ = 18

Số hạng thứ hai $u_{2} = 54 \Rightarrow u_{1} q = 54 \Rightarrow q = 3$

Số hạng cuối $u_{n} = 39366$

$\Leftrightarrow u_{1} . q^{n - 1} = 39366 \Leftrightarrow {18.3}^{n - 1} = 39366 \Leftrightarrow 3^{n - 1} = 3^{7} \Leftrightarrow n = 8$

Vậy $S_{8} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q} = \frac{18. (1 - 3^{8})}{1 - 3} = 59040$

Ví dụ 2: Tính tổng

a) $S_{n} = 9 + 99 + 999 + ... + \underset{n s ố 9}{\underset{⏟}{999..9}}$

b) $S_{n} = 8 + 88 + 888 + ... + \underset{n s ố 8}{\underset{⏟}{88...8}}$

Lời giải

Cấp số nhân và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

6. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

A. u_n = 7 – 3n.

B. u_n = 7 – 3ⁿ.

C. $u_{n} = \frac{7}{3 n} .$

D. u_n = 7.3ⁿ.

Câu 2. Cho cấp số nhân (u_n) có $u_{1} = - \frac{1}{2}, u_{7} = - 32$ . Khi đó q là?

A. $\pm 2$ .

B. $\pm \frac{1}{2}$ .

C. $\pm 4$ .

D. Tất cả đều sai.

Câu 3. Cho cấp số nhân (u_n) có $u_{1} = - 1; q = \frac{- 1}{10}$ . Số $\frac{1}{10^{103}}$ là số hạng thứ bao nhiêu?

A. Số hạng thứ 103.

B. Số hạng thứ 104.

C. Số hạng thứ 105.

D. Đáp án khác.

Câu 4. Cho cấp số nhân (u_n) có $u_{2} = \frac{1}{4}; u_{5} = 16$ . Tìm q và số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

A. $q = 4, u_{1} = \frac{1}{16}$ .

B. $q = \frac{1}{2}; u_{1} = \frac{1}{2}$ .

C. $q = - \frac{1}{2}, u_{1} = - \frac{1}{2}$ .

D. $q = - 4, u_{1} = - \frac{1}{16}$ .

Câu 5. Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 3; q = – 2. Số 192 là số hạng thứ bao nhiêu?

A. Số hạng thứ 6.

B. Số hạng thứ 5.

C. Số hạng thứ 7.

D. Đáp án khác.

Câu 6. Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn $\{\begin{cases} u_{4} - u_{2} = 36 \\ u_{5} - u_{3} = 72 \end{cases} .$ Chọn khẳng định đúng?

A. $\{\begin{cases} u_{1} = 4 \\ q = 2 \end{cases} .$

B. $\{\begin{cases} u_{1} = 6 \\ q = 2 \end{cases} .$

C. $\{\begin{cases} u_{1} = 9 \\ q = 2 \end{cases} .$

D. $\{\begin{cases} u_{1} = 9 \\ q = 3 \end{cases} .$

Câu 7. Cho dãy số (un) là một cấp số nhân với $u_{n} \neq 0, n \in ℕ^{*} .$ Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

A. u₁; u₃; u₅;...

B. 3u₁; 3u₂; 3u₃;...

C. $\frac{1}{u_{1}}; \frac{1}{u_{2}}; \frac{1}{u_{3}}; ...$

D. u₁ + 2; u₂+ 2; u₃ + 2;...

Câu 8. Tìm x để ba số 1 + x; 9 + x; 33 + x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

A. x = 1.

B. x = 3.

C. x = 7.

D. x = 3; x = 7.

Câu 9. Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời các số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm q?

A. $q = \frac{1}{3}$ .

B. $q = \frac{1}{9}$ .

C. $q = - \frac{1}{3}$ .

D. q = - 3.

Câu 10. Các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số x – 1, y + 2, x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính x² + y².

A. x² + y² = 40.

B. x² + y² = 25.

C. x² + y² = 100.

D. x² + y² = 10.

Câu 11. Cho cấp số nhân (u_n) có $\{\begin{cases} u_{20} = 8 u_{17} \\ u_{1} + u_{5} = 272 \end{cases}$ . Công bội của cấp số nhân là

A. q = 2.

B. q = – 4.

C. q = 4.

D. q = – 2.

Câu 12. Cho cấp số nhân (u_n) có $\{\begin{cases} u_{4} + u_{6} = - 540 \\ u_{3} + u_{5} = 180 \end{cases}$ . Tính S₂₁.

A. $S_{21} = \frac{1}{2} (3^{21} + 1)$ .

B. S₂₁ = 3²¹ – 1.

C. S₂₁ = 1 – 3²¹.

D. $S_{21} = - \frac{1}{2} (3^{21} + 1) .$

Câu 13. Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = – 3 và q = – 2. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.

A. S₁₀ = – 511.

B. S₁₀ = – 1025.

C. S₁₀ = 1025.

D. S₁₀ = 1023.

Câu 14. Cho cấp số nhân (u_n) có u₂ = – 2 và u₅ = 54. Tính tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.

A. $S_{1000} = \frac{1 - 3^{1000}}{4} .$

B. $S_{1000} = \frac{3^{1000} - 1}{2} .$

C. $S_{1000} = \frac{3^{1000} - 1}{6} .$

D. $S_{1000} = \frac{1 - 3^{1000}}{6} .$

Câu 15. Gọi S = 1 + 11 + 111 +... + 111...1 (n số 1) thì S nhận giá trị nào sau đây?

A. $S = \frac{10^{n} - 1}{81} .$

B. $S = 10 (\frac{10^{n} - 1}{81}) .$

C. $S = 10 (\frac{10^{n} - 1}{81}) - n .$

D. $S = \frac{1}{9} [10 (\frac{10^{n} - 1}{9}) - n] .$

Đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
D	A	A	A	C	B	D	B	A	A	A	A	D	D	D

Câu 16: Cho dãy số: –1; 1; –1; 1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số này không phải là cấp số nhân

B. Số hạng tổng quát u_n = 1ⁿ =1

C. Dãy số này là cấp số nhân có u₁= –1, q = –1

D. Số hạng tổng quát u_n = (–1)²ⁿ.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có $1 = - 1 (- 1); - 1 = 1 (- 1)$ . Vậy dãy số trên là cấp số nhân với $u_{1} = - 1; q= - 1$ .

Câu 17. Cho dãy số : $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; ...$ . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Dãy số này là cấp số nhân có u₁= 1, q = $\frac{1}{2}$ .

B. Số hạng tổng quát u_n = $\frac{1}{2^{n - 1}}$ .

C. Số hạng tổng quát u_n = $\frac{1}{2^{n}}$ .

D. Dãy số này là dãy số giảm.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có $\frac{1}{2} = 1. \frac{1}{2}; \frac{1}{4} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2}; \frac{1}{8} = \frac{1}{4} . \frac{1}{2}; \frac{1}{16} = \frac{1}{8} . \frac{1}{2}; ....$ Vậy daỹ số trên là cấp số nhân với $u_{1} = 1; q= \frac{1}{2}$ .

Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nân ta có : $u_{n} = u_{1} q^{n - 1} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1} = \frac{1}{2^{n - 1}}$ .

Câu 18. Cho dãy số: –1; –1; –1; –1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số này không phải là cấp số nhân.

B. Là cấp số nhân có $u_{1} = - 1; q=1.$

C. Số hạng tổng quát $u_{n} = {(- 1)}^{n} .$

D. Là dãy số giảm.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Các số hạng trong dãy giống nhau nên gọi là cấp số nhân với $u_{1} = - 1; q=1.$

Câu 19. Cho dãy số : $- 1; \frac{1}{3}; - \frac{1}{9}; \frac{1}{27}; - \frac{1}{81}$ . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Dãy số không phải là một cấp số nhân.

B. Dãy số này là cấp số nhân có $u_{1} = - 1; q= - \frac{1}{3}$ .

C. Số hạng tổng quát. $u_{n} = {(- 1)}^{n} . \frac{1}{3^{n - 1}}$

D. Là dãy số không tăng, không giảm.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: $\frac{1}{3} = - 1. (- \frac{1}{3}); - \frac{1}{9} = - \frac{1}{3} . (- \frac{1}{3}); \frac{1}{27} = - \frac{1}{9} . (- \frac{1}{3}); .......$ Vậy dãy số trên là cấp số nhân với $u_{1} = - 1; q=- \frac{1}{3}$ .

Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có $u_{n} = u_{1} q^{n - 1} = - 1 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1} = {(- 1)}^{n} . \frac{1}{3^{n - 1}}$ .

Câu 20. Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = - \frac{1}{2}; u_{7} = - 32$ . Tìm q ?

A. $q = \pm \frac{1}{2}$ .

B. $q = \pm 2$ .

C. $q = \pm 4$ .

D. $q = \pm 1$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có $u_{n} = u_{1} q^{n - 1} \Rightarrow u_{7} = u_{1} . q^{6} \Rightarrow q^{6} = 64 \Rightarrow [\begin{array}{l} q = 2 \\ q = - 2 \end{array}$ .

Câu 21. Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = - 2; q=-5$ . Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát u_n?

A. $10; 50; - 250; (- 2) {(- 5)}^{n - 1}$ .

B. $10; - 50; 250; 2. - 5^{n - 1}$ .

C. $10; - 50; 250; (- 2) {.5}^{n}$ .

D. $10; - 50; 250; (- 2) {(- 5)}^{n - 1}$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có $u_{2} = u_{1} . q = (- 2) . (- 5) = 10; u_{3} = u_{2} . q = 10. (- 5) = - 50; u_{4} = u_{3} . q = - 50. (- 5) = 250$ .

Số hạng tổng quát $u_{n} = u_{1} . q^{n - 1} = (- 2) . {(- 5)}^{n - 1}$ .

Câu 22. Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = 4; q = - 4$ . Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát $u_{n}$ ?

A. $- 16; 64; - 256; - {(- 4)}^{n}$ .

B. $- 16; 64; - 256; {(- 4)}^{n}$ .

C. $- 16; 64; - 256; 4 {(- 4)}^{n}$ .

D. $- 16; 64; - 256; 4^{n}$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có $u_{2} = u_{1} . q = 4. (- 4) = - 16; u_{3} = u_{2} . q = - 16. (- 4) = 64; u_{4} = u_{3} . q = 64. (- 4) = - 256$ .

Số hạng tổng quát $u_{n} = u_{1} . q^{n - 1} = 4. {(- 4)}^{n - 1}$ .

Câu 23. Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = - 1; q=0,00001$ . Tìm $q$ và $u_{n}$ ?

A. $q = \frac{1}{10}; u_{n} = \frac{- 1}{10^{n - 1}}$

B. $q = \frac{- 1}{10}; u_{n} = - 10^{n - 1}$

C. $q = \frac{- 1}{10}; u_{n} = \frac{1}{10^{n - 1}}$

D. $q = \frac{- 1}{10}; u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{10^{n - 1}}$

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có $u_{6} = u_{1} . q^{5} \Rightarrow 0, 00001 = - 1. q^{5} \Rightarrow q = - \frac{1}{10}$ .

Số hạng tổng quát $u_{n} = u_{1} . q^{n - 1} = - 1. {(- \frac{1}{10})}^{n - 1} = \frac{{(- 1)}^{n}}{10^{n - 1}}$ .

Tài liệu có 13 trang. Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống

Từ khóa :

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Tìm kiếm