Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 88)

Đề bài. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) với B, C là các tiếp điểm. Kẻ một đường thẳng d nằm giữa hai tia AB, AO và đi qua A cắt đường tròn (O) tại E, F (E nằm giữa A, F).

1. Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

2. Gọi H là giao điểm của AD và BC. Chứng minh OH.OA = OE².

3. Đường thẳng qua O vuông góc với EF cắt BC tại E. Chứng minh SF là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải:

1) Theo giả thiết ta có: AB và AC là tiếp tuyến của (O) nên: $\left\{\begin{array}{l}AB\perp OB\\ AC\perp OC\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{ABO}=90°\\ \widehat{ACO}=90°\end{array}\right.$

Xét tứ giác ABOC có: $\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90°+90°=180°$

Mà 2 góc này là hai góc đối diện

Nên ABOC là tứ giác nội tiếp

Vậy A, B, O, C cùng nằm trên 1 đường tròn.

2) Gọi H là giao điểm AO và BC

Ta có: AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Nên A thuộc đường trung trực của BC (1)

OB = OC = R nên O thuộc đường trung trực của BC (2)

Từ (1), (2): OA là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC = {H}

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABO vuông tại B có đường cao BH, ta có:

OB² = OH.OA

Lại có OB = OE = R

Nên: OE² = OH.OA

3) Theo phần b ta có: OE² = OH.OA ⇒$\frac{OE}{OH}=\frac{OA}{OE}$

Xét tam giác OEA và tam giác OHE có:

Chung $\widehat{O}$

$\frac{OE}{OH}=\frac{OA}{OE}$

⇒ ∆OEA ∽ ∆OHE (c.g.c)

⇒ $\widehat{OEA}=\widehat{OHE}$ (2 góc tương ứng)

Lại có: $\left\{\begin{array}{l}\widehat{FEO}=180°-\widehat{OEA}\\ \widehat{EHA}=180°-\widehat{OHE}\end{array}\right.\Rightarrow \widehat{FEO}=\widehat{EHA}$

Mặt khác: $\left\{\begin{array}{l}\widehat{SOE}=90°-\widehat{FEO}\\ \widehat{SHE}=90°-\widehat{EHA}\end{array}\right.\Rightarrow \widehat{SOE}=\widehat{SHE}$

Xét tứ giác SOHE có: $\widehat{SOE}=\widehat{SHE}$ cùng chắn cung SE

Suy ra: SOHE nội tiếp

⇒ $\widehat{SEO}=\widehat{SHO}=90°$

Xét tam giác SFO và tam giác SEO có:

SO chung

SF = SE

OF = OE = R

⇒ ∆SFP = ∆SEO (c.c.c)

⇒ $\widehat{SFO}=\widehat{SEO}=90°$

⇒ SF ⊥ OF tại F

Vậy SF là tiếp tuyến của (O).