Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 88)

Đề bài. Cho 5 số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số trong chúng không có ước nguyên tố nào khác 2 và 3. Chứng minh rằng trong năm số đó tồn tại hai số mà tích của chúng là một số chính phương.

Lời giải:

Gọi 5 số nguyên dương đã cho là K₁, K₂, K₃, K₄, K₅ (phân biệt từng đôi một). Ta có:

K₁ = $2^{a_1}{.3}^{b_1}$

K₂ = $2^{a_2}{.3}^{b_2}$

K₃ = $2^{a_3}{.3}^{b_3}$

K₄ = $2^{a_4}{.3}^{b_4}$

K₅ = $2^{a_5}{.3}^{b_5}$

(a₁,a₂,a₃,... và b₁,b₂,b₃,... đều là số tự nhiên)

Xét 4 tập hợp sau:

+ A là tập hợp các số có dạng 2^m.3ⁿ (với m lẻ, n lẻ)

+ B là tập hợp các số có dạng 2^m.3ⁿ (với m lẻ, n chẵn)

+ C là tập hợp các số có dạng 2^m.3ⁿ (với m chẵn, n lẻ)

+ D là tập hợp các số có dạng 2^m.3ⁿ (với m chẵn, n chẵn)

Rõ ràng trong 5 số K₁, K₂, K₃, K₄, K₅ chắc chắn có ít nhất 2 số thuộc cùng 1 tập hợp ví dụ K_i và K_j

K_i = $2^{a_i}{.3}^{b_i}$ ; K_j = $2^{a_j}{.3}^{b_j}$

⇒ K_i.K_j = $2^{a_i+a_j}{.3}^{b_i+b_j}$

Vì K_i và K_j thuộc cùng 1 tập hợp

Suy ra: a_i và a_j cùng tính chẵn lẻ, b_i và b_j cùng tính chẵn lẻ

a_i + a_j và b_i + b_j đều chẵn

K_i.K_j = $2^{a_i+a_j}{.3}^{b_i+b_j}$ là số chính phương.

Vậy trong năm số đó tồn tại hai số mà tích của chúng là một số chính phương.