Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 88)

Đề bài. Cho hình vuông ABCD tâm O, trên đoạn BC lấy điểm E bất kì, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF.

a) Chứng minh DE = BF.

b) Tia DE cắt BF tại H. Chứng minh $\widehat{DHF}=90°$.

c) Gọi I là trung điểm của EF, K là giao điểm của FE và BD. Chứng minh tứ giác AOIK là hình bình hành.

d) Chứng minh A, H, K thẳng hàng.

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA và

$\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDA}=\widehat{DAB}=90°$

Xét △DEC và △BFC có

EC = FC (giả thiết)

$\widehat{DCE}=\widehat{BCF}=90°$

DC = BC (chứng minh trên)

Do đó △DEC = △BFC (c.g.c)

Suy ra DE = BF (2 cạnh tương ứng), $\widehat{EDC}=\widehat{FBC}$

b) Xét △BEH và △DEC có

$\widehat{BEH}=\widehat{DEC}$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat{EDC}=\widehat{FBC}$ (chứng minh câu a)

Suy ra △BEH ∽ △DEC (g.g)

Do đó $\widehat{BHE}=\widehat{DCE}$

Mà $\widehat{DCE}=90°$ nên $\widehat{BHE}=90°$

Hay DE ⊥ BF

Suy ra $\widehat{DHF}=90°$

c) Xét tam giác BDF có

DE ⊥ BF

BC ⊥ DF

DE cắt BC tại E

Suy ra E là trực tâm tam giác BDF

Do đó FK ⊥ BD

Mà AO ⊥ BD

Suy ra AO // IK

Vì CE = CF nên tam giác CEF cân tại C

Mà CI là trung tuyến

Suy ra CI là đường cao

Hay CI ⊥ EF

Xét tứ giác OKIC có $\widehat{OKI}=\widehat{KOC}=\widehat{CIK}=90°$

Suy ra OKIC là hình chữ nhật

Do đó OC = KI

Mà OC = AO

Suy ra AO = KI

Xét tứ giác AOIK có AO // KI, AO = KI (chứng minh trên)

Suy ra AOIK là hình bình hành

d) Xét tứ giác ABHD có $\widehat{BAD}+\widehat{BHD}=90°+90°=180°$

Suy ra tứ giác ABHD nội tiếp

Do đó $\widehat{AHB}=\widehat{ADB}=45°$

Xét tứ giác DKHF có $\widehat{DKF}=\widehat{DHF}=90°$

Suy ra tứ giác DKHF nội tiếp

Do đó $\widehat{KHB}=\widehat{FDB}=45°$

Suy ra $\widehat{AHB}=\widehat{KHB}$

Suy ra AH ≡ KH

Do đó A, H, K thẳng hàng.

Vậy A, H, K thẳng hàng.