Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 102)

Câu 33: Tìm số tự nhiên n để  $P=n^4+2n^3+2n^2+2n+1$ là số chính phương 

Phương pháp giải: 

Biến đổi biểu thức $P$ và đưa về dạng $P = (n^2 + 1)(n + 1)^2$.

Suy ra $P$ là số chính phương khi $n^2 + 1$ và $(n + 1)^2$ đều là số chính phương.

Đặt $n^2 + 1 = a^2$, suy ra $(n + a)(n - a) = -1$.

Xét các giá trị của $n + a$ và $n - a$ để tìm $n$ nguyên.

Kết luận $n = 0$ là giá trị thỏa mãn.

Lời giải:

$P=n^4+2n^3+2n^2+2n+1$

$P = n^3(n + 1) + n^2(n + 1) + n(n + 1) + (n + 1)$

$P = (n^3 + n^2 + n + 1)(n + 1)$  

$P = [(n^3 + n^2) + (n + 1)](n + 1)$

$P = [n^2(n + 1) + (n + 1)](n + 1)$

$P = [(n^2 + 1)(n + 1)](n + 1)$

$P = (n^2 + 1)(n + 1)^2$

Mà $P$ là số chính phương, nên $(n+1)^2$ cũng là số chính phương. Do đó, $n^2 + 1$ phải là một số chính phương.

Đặt $n^2 + 1 = a^2$, với $a$ là số nguyên: Khi đó:

$n^2 - a^2 = -1$

$(n + a)(n - a) = -1$

Mà $n$ là số tự nhiên và $a$ là số nguyên, $n + a$ và $n - a$ là các số nguyên. 

$n + a = -1$ và $n - a = 1$

hoặc $n + a = 1$ và $n - a = -1$

Giải hệ phương trình: Với $n + a = -1$ và $n - a = 1$: $n = 0, \; a = -1$

Với $n + a = 1$ và $n - a = -1$: $n = 0, \; a = 1$

Kết luận: Vậy $n = 0$ là giá trị thỏa mãn.