Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 99)

Câu 32: Cho tam giác ABC có góc B = 45 độ và góc C = 15 độ. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = 2AB. Tính góc DCB.

Phương pháp giải: 

Sử dụng các tính chất của tam giác vuông và tam giác cân để tìm mối quan hệ giữa các góc và độ dài các đoạn thẳng.

Sử dụng trung điểm và tính chất của tam giác đều trong tam giác vuông.

Áp dụng các tính chất đối xứng trong các tam giác vuông cân để suy ra các góc cần tìm.

Lời giải:

Gọi F là trung điểm của CD

Có FE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông CDE

$\Rightarrow FE = CF = FD = BC = \frac{CD}{2}$

⇒ ΔCFE cân

Mà $180° - \widehat{BCA} = \widehat{FCE}$

$\Rightarrow \widehat{FCE} = 60°$

$\Rightarrow ∆CFE đều$

$\Rightarrow CF = FE = CE$

Xét tam giác BFE và DCE có:

CE = FE

$\widehat{FCE} = \widehat{CFE} = 60°$

BF = CD(BC = CF = FD)

$\Rightarrow ∆BFE = ∆DCE (c-g-c)$

$\widehat{FBE} = \widehat{CDE} = 90° - 60°= 30°$

$\Rightarrow ∆BED cân tại E$

⇒BE=ED (1)

Xét Δ ABC có:

$$\begin{gathered} \widehat{ABC }+ \widehat{ACB} + \widehat{BAC} = 180° \\ \Rightarrow \widehat{CAB} = 180° - (\widehat{ABC} + \widehat{ACB}) = 180° - 165° = 15° \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Mà} \\ \widehat{ EBA} + \widehat{FBE} = \widehat{CBA} = 45° \\ \Rightarrow \widehat{EBA} = 45° - 30° = 15° = \widehat{CAB} \\ \Rightarrow ∆BEA cân tại E \end{gathered}$$

=> BE = AE (2)

Từ (1) và (2) => ED = AE.

=> Δ ADE cân tại E

Đồng thời tam giác ADE có $\widehat{DEA} = 90°$

⇒ ΔADE là tam giác cân vuông

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{EDA} = \widehat{DAE} = \frac{90°}{2} = 45° \\ \mathrm{Mà} \widehat{\mathrm{BDA}} = \widehat{\mathrm{CDE}} - \widehat{\mathrm{EDA}} = 30° + 45° = 75° \end{gathered}$$