Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 99)

Câu 11: Cho biểu thức M = $\frac{3x+3}{x^3+x^2+x+1}$​

Phương pháp giải:

a) Rút gọn biểu thức $M$:

Ta phân tích tử số và mẫu số của biểu thức:

• Tử số: $3x + 3 = 3(x + 1)$

• Mẫu số: $x^3 + x^2 + x + 1$

Biểu thức trở thành:

$$M = \frac{3(x + 1)}{x^3 + x^2 + x + 1}$$

b) Tìm giá trị nguyên của $x$ để $M$ là số nguyên:

Để $M$ nhận giá trị nguyên, thì mẫu số $x^3 + x^2 + x + 1$ phải chia hết cho tử số $3(x + 1)$, tức là:

$$x^3 + x^2 + x + 1 \div (x + 1)$$

Ta thực hiện phép chia đa thức $x^3 + x^2 + x + 1$ cho $x + 1$:

• Sử dụng phương pháp chia đa thức hoặc phân tích nhân tử để thực hiện phép chia.

Sau khi thực hiện phép chia, ta có thể xác định các giá trị nguyên của $x$ sao cho $M$ là số nguyên.

c) Tìm giá trị lớn nhất của $M$:

Sau khi rút gọn và tính toán, ta có thể khảo sát giá trị của $M$ với các giá trị nguyên của $x$ tìm được ở câu b) và so sánh để tìm giá trị lớn nhất của $M$.

Lời giải:

ĐK: $x^3+x^2+x+1\mathrm{\ne }0\iff x\mathrm{\ne }-1$

a) $M=\frac{3(x+1)}{x^2(x+1)+(x+1)}=\frac{3(x+1)}{(x^2+1)(x+1)}=\frac{3}{x^2+1}$

b) Để M nhận giá trị nguyên thì $x^2+1\in \text{Ư}\left(3\right)=\{-3;-1;1;3\}$

Mà $x^2+1\ge 1\mathrm{\forall }x$ do đó $x^2+1\in \{1;3\}\iff x^2\in \{0;2\}\iff x\in \{0;\sqrt{2}\}$

Mà x nguyên nên x = 0

c) Do $x^2+1\ge 0+1=1\Rightarrow M=\frac{3}{x^2+1}\le \frac{3}{1}=3$

Đẳng thức xảy ra khi x = 0

Vậy Max M = 3