Xác định miền giá trị của hàm số:

Đầu tiên, nếu hàm số có liên quan đến $\sin x$ (vì miền giá trị của $\sin x$ trên $[0; \pi]$ là từ 0 đến 1), ta đặt $t = \sin x$, khi đó $t \in [0, 1]$.

Thay biến đổi đó vào hàm số, ta tìm được biểu thức của hàm theo $t$.

Tính đạo hàm của hàm số:

Tính đạo hàm $y'$ của hàm số theo $t$.

Giải phương trình $y' = 0$ để tìm các giá trị $t$ tại đó hàm số đạt cực trị.

Tính giá trị của hàm số tại các điểm đặc biệt:

Tính giá trị của hàm tại các giá trị biên của khoảng, cụ thể là tại $t = 0$ và $t = 1$ (tương ứng với $x = 0$ và $x = \pi$).

Tính giá trị của hàm số tại các điểm tìm được từ bước giải phương trình $y' = 0$.

So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:

So sánh các giá trị của hàm số tại các điểm biên và các điểm cực trị để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

y = $2\sin x - \frac{4}{3}{\sin }^{3}x$  trên [0;π]

Đặt t = sinx => t ∈ [0; 1] (vì x ∈ [0;π])

=> y = $2t - \frac{4}{3}{t}^3$.

y' = $2 - 4t^2$

=> y' = 0 <=> $-4t^2$ + 2 = 0 <=> $t^2$ = $\frac{1}{2}$ <=> $\left[\begin{array}{c}t = \frac{-\sqrt{2}}{2}\\ t = \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right] (loại t = \frac{-\sqrt{2}}{2})$

Có $y = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ = $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

y(0) = 0

y(1) = $\frac{2}{3}$

=> Min y = 0 khi t = 0 <=> sinx = 0 <=> $\left[\begin{array}{c}x = 0\\ x = \pi \end{array}\right]$

Max y = $\frac{2\sqrt{2}}{2}$ khi t = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ <=> sinx = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ <=> $\sin x = \sin \left(\frac{\pi }{4}\right)$

<=> $\left[\begin{array}{c}x = \frac{\pi }{4}\\ x = \frac{3\pi }{4}\end{array}\right]$