Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 99)

Câu 2: Cho 2 số nguyên dương x; y thỏa mãn $x^2 + y^2 - x ⋮ xy$. Chứng minh: x là số chính phương.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất ước chung lớn nhất (UCLN) và các phép biến đổi đại số để chứng minh rằng $x$ là số chính phương khi thỏa mãn phương trình ban đầu.

Dựa vào tính chất đặc biệt.

Ta có thể chứng minh một tính chất rất đặc biệt : “Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là một số chính phương thì a và b đều là các số chính phương”.

Lời giải:

Ta có:

$x^2 + y^2 - x ⋮ xy \Rightarrow x^2 + y^2 - x ⋮ x \Rightarrow y^2 ⋮ x$

Đặt $y^2 = xk$ với $k \in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}$.

Thay vào điều kiện ban đầu:

$x^2 + {\left(xk\right)}^2 - x ⋮ xy \Rightarrow x + x{k}^2 - 1 ⋮ y$

Gọi $d=\text{UCLN}(x,k)$. Vì $y^2=xk\Rightarrow y^2 ⋮ d^2\Rightarrow y ⋮ d$

Suy ra $x+x{k}^2-1 ⋮ y ⋮ d$. Mà $x ⋮ d\Rightarrow 1 ⋮ d\Rightarrow d=1$

Có nghĩa là $x, k$ nguyên tố cùng nhau. Mà $xk=y^2$ là 1 số chính phương, do đó bản thân $x$ cũng là số chính phương.

Ta có đpcm.