Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 99)

Câu 19: Chứng minh rằng: $x^2 + y^2$ chia hết cho 3 khi và chỉ khi x và y chia hết cho 3

Phương pháp giải:

Xét 5 trường hợp:

+TH1: x ⋮ 3 và y ⋮ 3 thì $x^2$ ⋮ 3 và $y^2$ ⋮ 3 => $x^2 + y^2$ ⋮ 3.

+TH2: x ⋮ 3 và y $\bcancel{⋮}$3 (hoặc x $\bcancel{⋮}$ 3 và y⋮3)

+TH3: x mod 3 = 1 và y mod 3 = 1

+TH4: x mod 3 = 2 và y mod 3 = 2

+TH5: x mod 3 = 1 và y mod 3 = 2 (hoặc x mod 2 = 1 và y mod 3 = 1)

Lời giải:

+ TH1: x ⋮ 3 và y ⋮ 3 thì $x^2$ ⋮ 3 và $y^2$ ⋮ 3 => $x^2 + y^2$ ⋮ 3.

+ TH2: x ⋮ 3 và y $\bcancel{⋮}$3 (hoặc x $\bcancel{⋮}$ 3 và y ⋮ 3)

=> $x^2$ ⋮ 3 và $y^2 \bcancel{⋮}$ 3 =>  $x^2 + y^{2 } \bcancel{⋮}$ 3 -> Loại

+TH3: x mod 3 = 1 và y mod 3 = 1

Giả sử x = 3a + 1; y = 3b + 1

$x^2+y^2={\left(3a+1\right)}^2+{\left(3b+1\right)}^2=9a^2+6a+1+9b^2+6b+1=3\left(3a^2+2a+3b^2+2b\right)+2$

=> $x^2 + y^2$ chia 3 dư 2 -> Loại.

+TH4: x mod 3 = 2 và y mod 3 = 2

Giả sử x = 3a - 1; y = 3b - 1

$$\begin{gathered} x^2+y^2={(3a-1)}^2+{(3b-1)}^2 \\ =9a^2-6a+1+9b^2-6b+1 \\ =3(3a^2-2a+3b^2-2b)+2 \end{gathered}$$

=> $x^2 + y^2$ mod 3 = 2  -> Loại

+TH5: x mod 3 = 1 và y mod 3 = 2 (hoặc x mod 2 = 1 và y mod 3 = 1)

Giả sử x = 3a + 1; y = 3b - 1

$$\begin{gathered} x^2+y^2={(3a+1)}^2+{(3b-1)}^2 \\ =9a^2+6a+1+9b^2-6b+1 \\ =3(3a^2+2a+3b^2-2b)+2 \end{gathered}$$

=> $x^2 + y^2$ mod 3 = 2 -> Loại

Vậy: $x^2 + y^2$ chia hết cho 3 khi và chỉ khi x và y chia hết cho 3.