Cho a, b, c > 0. Chứng minh: S = a/ b+2c + b/ c+2a + c/ a+2b >= 1

Cho a, b, c > 0. Chứng minh: S = a/ b+2c + b/ c+2a + c/ a+2b >= 1

Van Anh Ngày: 06-11-2024 Tổng hợp kiến thức

28

Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 99)

Câu 30: Cho a, b, c > 0. Chứng minh: S = $\frac{a}{b + 2 c} + \frac{b}{c + 2 a} + \frac{c}{a + 2 b} \geq 1$

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong dạng mở rộng để chứng minh bất đẳng thức trên.

Ta luôn có $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq {(a x + b y + c z)}^{2} .$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} .$

Ta luôn có $(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + . . . + a_{n}^{2}) (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + . . . + x_{n}^{2}) \geq {(a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + . . . + a_{n} x_{n})}^{2} .$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a_{1}}{x_{1}} = \frac{a_{2}}{x_{2}} = . . . = \frac{a_{n}}{x_{n}} .$

Lời giải:

$\Rightarrow S \geq \frac{{(a + b + c)}^{2}}{3 (a b + b c + c a)} \geq \frac{3 (a b + b c + c a)}{3 (a b + b c + c a)} = 1$

Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c$ .

Xem thêm các câu hỏi thường gặp môn Toán hay nhất:

Câu 1: Cho a, b là các số thực không âm. Chứng minh rằng $a^{3} + b^{3} \geq a^{2} b + a b^{2}$ ....

Câu 2: Cho 2 số nguyên dương x; y thỏa mãn $x^{2} + y^{2} - x ⋮ x y$ . Chứng minh: x là số chính phương....

Câu 3: Tìm x:...

Câu 4: Tìm x biết......

Câu 5: Rút gọn biểu thức sau: $\frac{36^{10} . 14.126}{35^{5} . 6}$ ......

Câu 6: Có ba con đường a1, a2, a3 đi từ A đến B ,có hai con đường b1, b2 đi từ B đến C.Và có ba con đường c1, c2, c3 đi từ C đến D .Viết tập hợp các con đường đi từ A đến D lần lượt qua B và C......

Câu 7: Tìm x biết....

Câu 8: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn: $- \frac{2}{5} < \frac{x}{10} < - \frac{1}{4}$ .....

Câu 9: Tìm:.....

Câu 10: Cho n là số nguyên không chia hết cho 3. Chứng minh rằng:....

Câu 11: Cho biểu thức M = $\frac{3 x + 3}{x^{3} + x^{2} + x + 1}$ ......

Câu 12: Tính nhanh $126^{2} - 152.126 + 5776$ ......

Câu 13 : $\sqrt{x} . \sqrt{x} = ?$ ....

Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y = $2 \sin x - \frac{4}{3} \sin^{3} x$ trên [0;π]....

Câu 15: Giải phương trình: $\frac{x - 3}{13} + \frac{x - 3}{14} = \frac{x - 3}{15} + \frac{x - 3}{16}$ .........

Câu 16: Tính Nhanh:.......

Câu 17: Tính chiều cao của cây trong hình bên, biết rằng người đo đứng cách cây 2,25 m và khoảng cách từ mắt người đo đến mặt đất là 1,5 m.......

Câu 18: Tính nhanh: $\frac{1}{2} - \frac{43}{101} + (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{6}$ .......

Câu 20: Một hình tam giác có diện tích 48 $c m^{2}$ , độ dài đáy 12 cm thì chiều cao của tam giác là.......

Câu 21: Một tam giác có diện tích là 15 $c m^{2}$ , cạnh đáy là 0,8 dm thì chiều cao là bao nhiêu?........

Câu 22: Giải phương trình nghiệm nguyên: . $x^{2} - 6 x + y^{2} + 10 y = 24$ ....

Câu 23: Cho một hình chữ nhật có diện tích bằng 456 $c m^{2}$ . Biết nếu giảm chiều dài đi 5cm thì ta được hình vuông có diện tích bằng 361 $c m^{2}$ . Tìm chiều dài của hình chữ nhật đã cho. ........

Câu 24: 2,5 giờ = ... giờ ... phút........

Câu 25: Tìm x biết: $(3 x + 2) (3 x - 2) - {(3 x - 1)}^{2} = 5$ ........

Câu 26: Cho A = $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + . . . + \frac{1}{16} + \frac{1}{17}$ . Chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên.........

Câu 27: Một trường tiểu học được xây trên một khu đất, trong đó diện tích khu phòng học được xây dựng là 1500 m², chiếm 60% diện tích khu đất, diện tích đường đi chiếm 10% diện tích khu đất, phàn còn lại là sân chơi, bãi tập. Tính diện tích sân chơi, bãi tập..........

Câu 28: Một tổ công nhân làm theo kế hoạch phải trồng một số cây chia làm 3 đợt. Đợt 1 trồng $\frac{1}{3}$ số cây, đợt 2 trồng $\frac{3}{7}$ số cây, đợt 3 trồng nốt 160 cây. Tính số cây mà tổ đó phải trồng theo kế hoạch.........

Câu 29: Tính tổng S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 1998 + 1999.......

Câu 30: Cho a, b, c > 0. Chứng minh: S = $\frac{a}{b + 2 c} + \frac{b}{c + 2 a} + \frac{c}{a + 2 b} \geq 1$ .......

Câu 31: Tính giá trị của P = 2y⁴ + 7x - 2z⁴ biết x,y,z nguyên và thỏa mãn .......

Câu 32: Cho tam giác ABC có góc B = 45 độ và góc C = 15 độ. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = 2AB. Tính góc DCB........

Đánh giá

0

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Tổng hợp kiến thức

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (phần 110)

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (phần 110) Minh Nguyệt

31

Toán Lớp 5

Vở bài tập Toán lớp 5 Tập 2 trang 130 Bài 91: Ôn tập chung | Cánh diều

Vở bài tập Toán lớp 5 Tập 2 trang 130 Bài 91: Ôn tập chung | Cánh diều Lữ Ngọc My My

29

Toán Lớp 5

Vở bài tập Toán lớp 5 Tập 2 trang 129 Bài 91: Ôn tập chung | Cánh diều

Vở bài tập Toán lớp 5 Tập 2 trang 129 Bài 91: Ôn tập chung | Cánh diều Lữ Ngọc My My

28

Toán Lớp 5

Vở bài tập Toán lớp 5 Tập 2 trang 121 Bài 89: Em ôn lại những gì đã học | Cánh diều

Vở bài tập Toán lớp 5 Tập 2 trang 121 Bài 89: Em ôn lại những gì đã học | Cánh diều Lữ Ngọc My My

36

Tìm kiếm

tailieugiaovien.com.vn

Bài Viết Xem Nhiều

CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK

- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền

- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.

© 2021 Vietjack. All Rights Reserved.