Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 99)

Câu 10: Cho n là số nguyên không chia hết cho 3. Chứng minh rằng:

P = $3^{2n} + 3^n + 1$ chia hết cho 13.

Phương pháp giải:

Để giải bài toán trên, ta áp dụng:

Phép đồng dư (Modulo):

Phép đồng dư giúp ta xác định phần dư khi chia một số cho một số nguyên khác. Ở đây, ta sử dụng modulo 13, tức là ta quan tâm đến phần dư khi chia cho 13.

Ký hiệu: $a \equiv b \ (\text{mod}\ m)$, nghĩa là $a$ và $b$ có cùng phần dư khi chia cho $m$ (hoặc $a - b$ chia hết cho $m$).

Định lý Fermat nhỏ:

Định lý Fermat nhỏ nói rằng nếu $p$ là số nguyên tố và $a$ là số nguyên không chia hết cho $p$, thì $a^{p-1} \equiv 1 \ (\text{mod}\ p)$.

Ở đây, $p = 13$ và $a = 3$, nên $3^{12} \equiv 1 \ (\text{mod}\ 13)$. Điều này giúp ta tính các lũy thừa lớn của 3 theo modulo 13 một cách dễ dàng.

Phân tích dạng của $n$:

Vì $n$ không chia hết cho 3, nên $n$ có thể được biểu diễn dưới hai dạng: $n = 3k + 1$ hoặc $n = 3k + 2$, giúp ta phân trường hợp để giải bài toán.

Tính lũy thừa theo modulo:

Sử dụng $3^{12} \equiv 1 \ (\text{mod}\ 13)$, ta có thể đơn giản hóa các lũy thừa lớn của 3 về các lũy thừa nhỏ hơn trong phép tính modulo 13, giúp ta tính toán nhanh hơn.

Lời giải:

Ta có: $3^{2n}+3^n+1$

Vì n không chia hết cho 3 nên: n có dạng là $3k+1$ và $3k+2$

Trường hợp 1: $n=3k+1$

Thế vào: Ta có: $3^{6k+2}+3^{3k+1}+1$

$=729^k\cdot 9+27^k\cdot 3+1$

Mặt khác: $729\equiv 27\equiv 1$(mod 13)

Do đó: $729^k\cdot 9+27^k\cdot 3+1\equiv 1\cdot 9+1\cdot 3+1=13$(mod 13)

Vậy .............

Trường hợp 2: $n = 3k + 2$

Thế vào: Ta có: $3^{2(3k+2)}+3^{3k+2}+1=3^{6k+4}+3^{3k+2}+1$

$= {729}^k.81+{27}^k.9+1$

Mặt khác: $729\equiv 27\equiv 1$(mod 13)

Do đó: $729^k\cdot 81+27^k\cdot 9+1\equiv 1\cdot 81+1\cdot 9+1=91$(mod 13)

Vậy .............