Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 101)

Câu 18: Tìm các số nguyên dương x, y sao cho 8x³ + y³ - 6xy + 1 là số nguyên tố

Phương pháp giải:

Phân tích biểu thức 8x³ + y³ - 6xy + 1 thành tích các thừa số để tìm điều kiện cần thiết thỏa mãn cho giá trị này là số nguyên tố.

Lời giải:

$8x^3 + y^3 - 6xy + 1={(2x+y)}^3-6xy(2x+y)-6xy+1$

$\iff (2x+y+1)$$[{(2x+y)}^2-(2x+y)+1-6xy]$

$\iff (2x+y+1)$$(4x^2+y^2-2x-y-2xy+1)$

$\iff \{\begin{array}{l}2x+y+1=1\\ 4x^2+y^2-2x-y-2xy+1=1\end{array}$

Trường hợp 1: $2x + y + 1 = 1$

$$2x + y + 1 = 1 \Rightarrow 2x + y = 0$$

Vì $x$ và $y$ là các số nguyên dương, nên $2x + y = 0$ không thể xảy ra. Do đó, không có giá trị nào của $x$ và $y$ thỏa mãn trong trường hợp này.

Trường hợp 2: $4x^2 + y^2 - 2xy - 2x - y + 1 = 1$

Ta có:

$$4x^2 + y^2 - 2xy - 2x - y + 1 = 1$$

Rút gọn phương trình:

$$4x^2 + y^2 - 2xy - 2x - y = 0$$

Để giải phương trình này, ta sẽ thử các giá trị nhỏ của $x$ và $y$ để tìm các nghiệm nguyên dương.

Với $x = 1$:

Khi $x = 1$, ta thay vào phương trình:

$$\begin{gathered} 4(1{)}^2+y^2-2\cdot 1\cdot y-2\cdot 1-y=0 \\ 4+y^2-2y-2-y=0 \\ {y}^2-3y+2=0 \end{gathered}$$

Phương trình này có nghiệm:

$y=1 \text{hoặc }y=2$

Vậy ta có các cặp nghiệm $(x, y) = (1, 1)$ và $(x, y) = (1, 2)$.

Với $x = 2$:

Khi $x = 2$, ta thay vào phương trình:

$$\begin{gathered} 4(2{)}^2+y^2-2\cdot 2\cdot y-2\cdot 2-y=0 \\ 16+y^2-4y-4-y=0 \\ {y}^2-5y+12=0 \end{gathered}$$

Phương trình này không có nghiệm nguyên dương.

Từ các trường hợp trên, các cặp số nguyên dương $(x, y)$ thỏa mãn bài toán là:

$(x, y) = (1, 1)$

$(x, y) = (1, 2)$

Kết luận

Các cặp số nguyên dương $(x, y)$ thỏa mãn để $8x^3 + y^3 - 6xy + 1$ là số nguyên tố là: $(x,y)=(1,1) \text{v}\grave{\text{a }}(x,y)=(1,2)$