Cho các số dương a, b, c, d có tích bằng 1. CMR a^2 + b^2 +c^2 +d^2 + ab + cd >= 6

Cho các số dương a, b, c, d có tích bằng 1. CMR a^2 + b^2 +c^2 +d^2 + ab + cd >= 6

Van Anh Ngày: 07-11-2024 Tổng hợp kiến thức

8

Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 101)

Câu 8: Cho các số dương a, b, c, d có tích bằng 1

CMR: $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + a b + c d \geq 6$

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + cd \geq 2ab + 2bc + 2ab + cd = 3(ab + cd)$ .

Tiếp tục sử dụng các biến đổi để đưa về dạng bất đẳng thức cần chứng minh với tổng tối thiểu là 6.

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức: $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$ ta có:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + a b + c d \geq 2 a b + 2 b c + a b + c d = 3 (a b + c d)$

Mặt khác: $3 (a b + c d) = 3 (a b + \frac{a b c d}{a b}) = 3 (a b + \frac{1}{c d}) \geq 3.2 = 6$ $(B Đ T : \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2)$

Vậy $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + a b + c d \geq 6$ (đpcm)

Xem thêm các câu hỏi thường gặp môn Toán hay nhất:

Câu 1: Rút gọn biểu thức $a = 1 - 2 + 2^{2} - 2^{3} + 2^{4} - \dots - 2^{99} + 2^{100}$ .....

Câu 2: So sánh A và B biết A = $\frac{2010}{2011} + \frac{2011}{2012} + \frac{2012}{2010}$ và B = $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + . . . + \frac{1}{17}$ ....

Câu 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{2} - x y + y^{2} = x - y$ ....

Câu 4: Viết số 64 dưới dạng aⁿ với a thuộc Z . Có bao nhiên cách viết ?....

Câu 5: Tìm 2 số có hiệu bằng 56 biết số thứ 1 gấp 3 lần số thứ 2.....

Câu 6: Tìm x biết: $5^{2 x - 3} - 2 . 5^{2} = 5^{2} . 3$ .....

Câu 7: Từ 200 số tự nhiên 1;2;3;...;200, ta lấy ra k số bất kì sao cho trong các số vừa lấy luôn tìm được 2 số mà số này là bội của số kia. Tìm giá trị nhỏ nhất của k......

Câu 8: Cho các số dương a, b, c, d có tích bằng 1....

Câu 9: Tìm x biết: $5^{x} + 5^{x - 3} = 3150$ .....

Câu 10: Tính nhanh:......

Câu 11: Một thửa đất hình chữ nhật có chu vi là 56m. Nếu giảm chiều rộng 2m và tăng chiều dài 4m thì diện tích tăng thêm 8 m² . Tìm chiều rộng và chiều dài thửa đất......

Câu 12: Cho hình thoi ABCD cạnh a có góc A = 60◦.Một đường thẳng bất kì đi qua C cắt tia đối của các tia BA và DA theo thứ tự tại M và N.....

Câu 13: Quãng đường AD dài 9 km, gồm đoạn AB lên dốc, đoạn BC nằm ngang, đoạn CD xuống dóc. 1 người người đi bộ từ A đến D rồi quay trở về A hết tất cả 3h41'. Tính quãng đường BC, biết vận tốc lúc lên dốc của người đó là 4km/h, lúc xuống dốc là 6km/h và lúc đi nằm ngang là 5km/h.......

Câu 14: Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ . Chứng minh: $\frac{a - c}{a + c} = \frac{b - d}{b + d}$ ....

Câu 15: Tính nhanh : 998 x 2 + 2 x 2 = ?.....

Câu 16: Tìm số nguyên tố p nhỏ nhất sao cho p + 2 và p + 4 cũng là số nguyên tố.....

Câu 17: Tính: $\frac{45}{9} - \frac{45}{10}$ .....

Câu 18: Tìm các số nguyên dương x, y sao cho 8x³ + y³ - 6xy + 1 là số nguyên tố......

Câu 19: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có $\hat{A} = 120 °$ .......

Câu 20: Giá bán một máy thu thanh là 425000 đồng. Sau 2 lần giảm giá liên tiếp, mỗi lần giảm 10% giá trước đó thì giá bán của máy thu thanh còn bao nhiêu đồng?.....

Câu 21: Hai người đi xe máy cùng khởi hành từ A và B cách nhau 106,25km và đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 15 phút họ gặp nhau tại một điểm trên quãng đường AB. Tìm vận tốc của mỗi xe biết rằng xe máy đi từ A với vận tốc bằng 8/9 vận tốc xe máy đi từ B.......

Câu 22: Tổng của 2 số là 43,75. Nếu thêm vào số lớn 3,6 và bớt số bé đi 2,5 thì hiệu mới của hai số là 20,15. Tìm hai số đó......

Câu 23: Cho x - y = 2. Tính giá trị biểu thức A = $2 . (x^{3} - y^{3}) - 3 . {(x + y)}^{2}$ ........

Câu 24: Tính bằng cách thuận tiện nhất: $8, 12 x 6 + 16, 24 x 4 - 4, 06 x 8$ ........

Câu 25: Với a , b , c là các số thực dương . Chứng minh rằng :.......

Câu 26: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:......

Câu 27: 2^x = 16. Tìm x.....

Câu 28: Giáo viên chủ nhiệm muốn chia 240 bút bi, 210 bút chì và 180 quyển vở thành một số phần thưởng như nhau để phát thưởng cho học sinh. Hỏi có thể chia được nhiều nhất là bao nhiêu phần thưởng. Mỗi phần thưởng có bao nhiêu bút bi, bút chì và tập vở?.....

Câu 29: Hôm nay là chủ nhật. Hỏi 616 ngày sau là thứ mấy?.....

Câu 30: Chứng minh rằng: n⁵+ 10n⁴- 5n³- 10n²+ 4n chia hết cho 120.....

Câu 31: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức....

Đánh giá

0

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Tổng hợp kiến thức

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức a) A = (x + 3)^2 + (x - 3)(x + 3) - 2(x + 2)(x - 4); với x= -1/2

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức a) A = (x + 3)^2 + (x - 3)(x + 3) - 2(x + 2)(x - 4); với x= -1/2 Van Anh

8

Toán Tổng hợp kiến thức

Chứng minh rằng: n^5 + 10n^4 - 5n^3 - 10n^2 + 4n chia hết cho 120

Chứng minh rằng: n^5 + 10n^4 - 5n^3 - 10n^2 + 4n chia hết cho 120 Van Anh

7

Toán Tổng hợp kiến thức

Hôm nay là chủ nhật. Hỏi 616 ngày sau là thứ mấy?

Hôm nay là chủ nhật. Hỏi 616 ngày sau là thứ mấy? Van Anh

7

Toán Tổng hợp kiến thức

Giáo viên chủ nhiệm muốn chia 240 bút bi, 210 bút chì và 180 quyển vở thành một số phần thưởng như nhau

Giáo viên chủ nhiệm muốn chia 240 bút bi, 210 bút chì và 180 quyển vở thành một số phần thưởng như nhau Van Anh

7

Tìm kiếm

tailieugiaovien.com.vn

Bài Viết Xem Nhiều

CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK

- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền

- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.

© 2021 Vietjack. All Rights Reserved.