Cho các số dương a, b, c, d có tích bằng 1. CMR a^2 + b^2 +c^2 +d^2 + ab + cd >= 6

38

Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 101)

Câu 8: Cho các số dương a, b, c, d có tích bằng 1

CMR: a2+b2+c2+d2+ab+cd6

Phương pháp giải: 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: a2+b2+c2+d2+ab+cd2ab+2bc+2ab+cd=3(ab+cd)a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + cd \geq 2ab + 2bc + 2ab + cd = 3(ab + cd).

Tiếp tục sử dụng các biến đổi để đưa về dạng bất đẳng thức cần chứng minh với tổng tối thiểu là 6.

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức: x2+y22xy ta có:

a2+b2+c2+d2+ab+cd2ab+2bc+ab+cd=3(ab+cd)

Mặt khác: 3(ab+cd)=3(ab+abcdab)=3(ab+1cd)3.2=6 (BĐT:ab+ba2)

Vậy a2+b2+c2+d2+ab+cd6(đpcm)

Đánh giá

0

0 đánh giá