Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 101)

Câu 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^2 - xy + y^2 = x - y$

Phương pháp giải: 

Chuyển đổi phương trình về dạng chuẩn.

Nhóm các hạng tử liên quan đến $x$ và viết dưới dạng phương trình bậc 2.

Tính delta để xác định điều kiện có nghiệm.

Giải bất phương trình liên quan để tìm giá trị của $y$.

Thay giá trị của $y$ vào phương trình để tìm giá trị tương ứng của $x$.

Lời giải:

$$\begin{gathered} x^2 - xy + y^2 = x - y \\ \iff x^2 - xy + y^2 - x + y = 0 \\ \iff x^2 -(y+1)x+(y^2+y)=0 \end{gathered}$$

Trong phương trình bậc 2 theo $x$, hệ số có dạng:

$a=1,b=-(y+1),c=y^2+y$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Thay vào ta có:

$\mathrm{\Delta }=(-(y+1){)}^2-4(1\left)\right(y^2+y)=(y+1{)}^2-4(y^2+y)$

$\mathrm{\Delta }=(y^2+2y+1)-(4y^2+4y)=-3y^2-2y+1$

Để phương trình có nghiệm nguyên, $\Delta$ phải là một số chính phương. $-3y^2-2y+1\ge 0$

Ta giải bất phương trình này bằng cách tìm nghiệm của phương trình: $-3y^2-2y+1=0$

$\Rightarrow {\mathrm{\Delta }}^{\text{'}}=(-2{)}^2-4(-3\left)\right(1)=4+12=16$

Nghiệm của phương trình là: $y=\frac{-(-2)\pm \sqrt{16}}{2\cdot (-3)}=\frac{2\pm 4}{-6}$

• Nghiệm 1: $y = \frac{6}{-6} = -1$
• Nghiệm 2: $y = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$

Vì $y$ là số nguyên, nên $y = -1$ là nghiệm duy nhất.

Thay $y = -1$ vào phương trình gốc: $x^2-(-1)x+(-1{)}^2=x-(-1)$

$\iff x^2+x+1=x+1$

$\iff x^2=0⟹x=0$

Nghiệm nguyên của phương trình $x^2 - xy + y^2 = x - y$ là: $(x,y)=(0,-1)$