Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 100)

Câu 32: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng, mỗi hàng có 20 người, hoặc 25 người, hoặc 30 người đều thừa 15 người. Nếu xếp mỗi hàng 41 người thì vừa đủ (không có hàng nào thiếu, không có ai ở ngoài hàng). Hỏi đơn vị có bao nhiêu người, biết rằng số người của đơn vị chưa đến 1000?

Phương pháp giải: 

Thiết lập phương trình:

Sử dụng điều kiện xếp hàng để lập các phương trình modulo (số người dư 15 khi xếp theo 20, 25, 30 và vừa đủ khi xếp theo 41).

Tính bội chung nhỏ nhất (BCNN):

Tính BCNN của các số 20, 25, 30 để có được dạng của số người (trừ 15) phải là bội chung của BCNN.

Thay vào điều kiện:

Viết lại số người theo dạng $a = 300k + 15$ (với $k$ là số nguyên).

Sử dụng điều kiện xếp hàng 41 để lập phương trình mới.

Giải phương trình:

Tìm $k$ từ phương trình và xác định điều kiện $a < 1000$.

Kết luận:

Tính giá trị cuối cùng của $a$ và kiểm tra điều kiện.

Kết quả cuối cùng cho thấy đơn vị bộ đội có 615 người.

Lời giải:

Gọi số người đơn vị bộ đội là a ($a\in {\mathrm{N}}^{\ast }$)

Ta có $\{\begin{array}{l}a:20\text{ dư 15}\\ a:25\text{ dư 15}\\ a:30\text{ dư 15}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}(a-15)⋮20\\ (a-15)⋮25\\ (a-15)⋮30\end{array}\Rightarrow (a-15)\in BC(20;25;30)$

Phân tích ra thừa số nguyên tố 

20 = 2².5

25 = 5²

30 = 2.3.5

=> BCNN(20;25;30) = 22.3.52 = 300

Vì BC(20;25;30) $\in B\left(300\right)$

=> a - 15 $\in B\left(300\right)$

=> $a-15\in \{0;300;600;900;1200;\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\}$

=> $a\in \{15;315;615;915;1215;\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\}$

Lại có $\{\begin{array}{l}0<a<1000\\ a⋮41\end{array}\Rightarrow a=615$ (tm)

Vậy đơn vị đó có 615 người