Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 câu hỏi thường gặp môn Toán có đáp án (phần 100)

Câu 30: Tính giá trị của biểu thức sau

$A=5{\sin }^2\frac{151\pi }{6}+3{\cos }^2\frac{85\pi }{3}-4{\tan }^2\frac{193\pi }{6}+7co{t}^2\frac{37\pi }{3}$

Phương pháp giải: 

Sử dụng các công thức lượng giác và các giá trị đặc biệt của hàm lượng giác để tính toán.

Lời giải:

1. Tính giá trị của các hàm số:

a) Tính $5 \sin^2 \left( \frac{151\pi}{6} \right)$:

$5{\sin }^2\left(\frac{151\pi }{6}\right)=5{\sin }^2(\frac{151\pi }{6}-2\pi )=5{\sin }^2\left(\frac{7\pi }{6}\right)=5{\sin }^2(-\frac{\pi }{6})=5{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=5\times \frac{1}{4}=\frac{5}{\mathrm{4}}$

b) Tính $3 \cos^2 \left( \frac{85\pi}{3} \right)$:

$3{\cos }^2\left(\frac{85\pi }{3}\right)=3{\cos }^2(\frac{85\pi }{3}-2\pi )=3{\cos }^2\left(\frac{7\pi }{3}\right)=3{\cos }^2\left(\frac{\pi }{3}\right)=3{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=3\times \frac{1}{4}=\frac{3}{\mathrm{4}}$

c) Tính $4 \tan^2 \left( \frac{193\pi}{6} \right)$:

$4{\tan }^2\left(\frac{193\pi }{6}\right)=4{\tan }^2(\frac{193\pi }{6}-2\pi )=4{\tan }^2\left(\frac{\pi }{6}\right)=4{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2=4\times \frac{1}{3}=\frac{4}{\mathrm{3}}$

d) Tính $7 \cot^2 \left( \frac{37\pi}{3} \right)$:

$7{\cot }^2\left(\frac{37\pi }{3}\right)=7{\cot }^2(\frac{37\pi }{3}-2\pi )=7{\cot }^2\left(\frac{\pi }{3}\right)=7{\left(\sqrt{3}\right)}^2=7\times 3=21$

2. Tính tổng giá trị của biểu thức:

$A=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}+\frac{4}{3}+21$

Quy đồng mẫu số:

$A=\frac{5+3}{4}+\frac{4}{3}+21=\frac{8}{4}+\frac{4}{3}+21=2+\frac{4}{3}+21$

Quy đồng để tính tổng:

$A=2+\frac{4}{3}+21=\frac{6}{3}+\frac{4}{3}+\frac{63}{3}=\frac{6+4+63}{3}=\frac{72}{3}=6$

Vậy giá trị của biểu thức là $A = 6$.

Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

– Góc đối nhau (α và –α )

cos(–α) = cos α

sin(–α) = – sin α

tan(–α) = – tan α

cot(–α) = – cot α

– Góc bù nhau (α và ℼ – α)

sin(ℼ – α) = sin α

cos(ℼ – α) = – cos α

tan(ℼ – α) = – tan α

cot(ℼ – α) = – cot α

– Góc phụ nhau (α và $\frac{\pi }{2}-\alpha$)

– Góc hơn kém ℼ (α và ℼ + α)

sin (ℼ + α) = – sin α

cos (ℼ + α) = – cos α

tan (ℼ + α) = tan α

cot (ℼ + α) = cot α

Chú ý: Nhờ các công thức trên, ta có thể đưa việc tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác bất kì về việc tính giá trị lượng giác của góc α với $0\le \alpha \le \frac{\pi }{2}$.