Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Tiếng Anh. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 97)

Câu 3: Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(m - 1)x - 2y = 1}\\{3x + my = 1}\end{array}} \right.\)

a) Giải hệ phương trình khi m = \(\sqrt 3  + 1\)

b) Chứng minh rằng hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất với mọi m

c) Tìm m để x-y đạt giá trị nhỏ nhất

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

b, c) Bước 1: Sử dụng các phương pháp giải hệ phương trình cơ bản đã học như thế, cộng đại số, ta thu được phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

Bước 2: Giải và biện luận phương trình mới, từ đó đi đến kết luận về giải và biện luận hệ phương trình đã cho.

Lời giải:

a) Với m = \(\sqrt 3  + 1\) hệ phương trình có dạng:

\[\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 3 x - 2y = 1}\\{3x + (\sqrt 3  + 1)y = 1}\end{array}} \right.\\ =  > \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - 2\sqrt 3 y = \sqrt 3 }\\{3x + (\sqrt 3  + 1)y = 1}\end{array}} \right.\\ =  > \left\{ \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{(3\sqrt 3  + 1)y = 1 - \sqrt 3 }\\{\sqrt 3 x - 2y = 1}\end{array}\\ =  > \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{{ - 5 + 2\sqrt 3 }}{{13}}}\\{3x + 2.\frac{{ - 5 + 2\sqrt 3 }}{{13}} = 1}\end{array}} \right.\end{array} \right.\\ =  > \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{{ - 5 + 2\sqrt 3 }}{{13}}}\\{x = \frac{{4 + \sqrt 3 }}{{13}}}\end{array}} \right.\end{array}\]

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(m - 1)x - 2y = 1(1)}\\{3x + my = 1(2)}\end{array}} \right.\)

Từ (1) ta có: \(y = \frac{{(m - 1)x - 1}}{2}\) thay vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}3x + m.\frac{{(m - 1)x - 1}}{2} = 1\\ =  > 6x + m(m - 1)x - 1 = 2\\ =  > ({m^2} - m + 6)x = 3\\ =  > x = \frac{3}{{{m^2} - m + 6}}\end{array}\)

Mà \({m^2} - m + 6\) luôn có nghiệm

=> ∀m thì đều tìm được một giá trị của y từ đó suy ra giá trị của x

=> Hệ phương trình luôn có 1 nghiệm duy nhất với mọi m

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(m - 1)x - 2y = 1(1)}\\{3x + my = 1(2)}\end{array}} \right.\)

Từ (1) ta có: \(y = \frac{{(m - 1)x - 1}}{2}\) thay vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}3x + m.\frac{{(m - 1)x - 1}}{2} = 1\\ =  > 6x + m(m - 1)x - m = 2\\ =  > ({m^2} - m + 6)x = 2 + m\\ =  > x = \frac{{2 + m}}{{{m^2} - m + 6}}\\ =  > y = \frac{{m - 4}}{{{m^2} - m + 6}}\end{array}\)

\[\begin{array}{l}x - y = \frac{{2 + m}}{{{m^2} - m + 6}} - \frac{{m - 4}}{{{m^2} - m + 6}}\\ = \frac{6}{{{m^2} - m + 6}} = \frac{6}{{{{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{{23}}{4}}}\end{array}\]

Vì \[{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{23}}{4}\]≥ \[\frac{{23}}{4}\]

=> \[\frac{6}{{{{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{{23}}{4}}}\]≤\(\frac{{24}}{{23}}\)

=> x – y ≤\(\frac{{24}}{{23}}\)

Dấu bằng xảy ra ó m = \(\frac{1}{2}\)(TMĐK)

Vậy x-y đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{24}}{{23}}\) khi m = \(\frac{1}{2}\)