Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 93)

Đề bài. Cho ΔABC cố định, các điểm D và E di động trên các cạnh tương ứng là AB và AC sao cho $\frac{AD}{BD}=\frac{CE}{EA}$ . Chứng minh rằng: Trung điểm M của đoạn thẳng DE nằm trên 1 đoạn thẳng cố định.

Lời giải:

Ta có: $\frac{AD}{BD}=\frac{CE}{EA}\Rightarrow \frac{AD}{AB}=\frac{EC}{CA}$

Từ E kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại F (EF // BC)

Theo định lý ta-lét ta có: $\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{CA}$

Suy ra: $\frac{EF}{AB}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow EF=AD$

Lại có: EF // AB nên EF // AD

Suy ra: ADFE là hình bình hành

Mà ADFE là hình bình hành có M là trung điểm của đường chéo DE nên M cũng là trung điểm của AF

Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, AC

Suy ra: IJ là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ IJ // BC (1)

Tam giác ABF có I là trung điểm AB, M là trung điểm AF nên IM là đường trung bình của tam giác ABF

⇒ IM // BC (2)

Từ (1) và (2): I, M, J thẳng hàng

Vậy M nằm trên IJ

Mà tam giác ABC cố định, nên IJ cố định, vậy M cố định.