Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 93)

Đề bài. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, BC= a, $\widehat{BSC}=60°$ cạnh SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SBC) tạo với (SAB) góc 30 độ. Thể tích khối chóp đã cho.

Lời giải:

Từ C kẻ CH⊥AB tại H. Từ H kẻ HK⊥SB tại K.

+ Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAB) là SB.

$\left\{\begin{array}{l}HK\in \left(SAB\right)\\ HK\perp SB\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}CH\perp SB\\ HK\perp SB\end{array}\right.\Rightarrow SB\perp CK$

mà CK ∈ (SBC)

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAB) là $\widehat{CKH}=30°$

$\left\{\begin{array}{l}BC\perp AC\\ BC\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp SC$

Tam giác SBC vuông tại C có góc $\widehat{BSC}=60°$ nên: $SC=\frac{a}{\sqrt{3}};SB=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

+ Tam giác SBC vuông tại C có CK là đường cao nên

$\frac{1}{C{K}^2}=\frac{1}{C{S}^2}+\frac{1}{C{B}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{3}{a^2}=\frac{4}{a^2}$

Suy ra: $CK=\frac{a}{2}$

+ Tam giác CKH vuông tại H (vì CH⊥(SAB)) và $\widehat{CKH}=30°$ nên: $CH=CK.\sin 30°=\frac{a}{4}$

+ Tam giác ABC vuông tại C và có CH là đường cao nên $\frac{1}{C{H}^2}=\frac{1}{C{A}^2}+\frac{1}{C{B}^2}\Rightarrow \frac{1}{C{A}^2}=\frac{1}{C{H}^2}-\frac{1}{C{B}^2}=\frac{16}{a^2}-\frac{1}{a^2}=\frac{15}{a^2}$

Suy ra: $AC=\frac{a}{\sqrt{15}}$

+ Tam giác ABC vuông tại C nên $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\frac{4a}{\sqrt{15}}$

+ Tam giác SAB vuông tại nên $SA=\sqrt{S{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{\frac{4a^2}{3}-\frac{16a^2}{15}}=\frac{2a}{\sqrt{15}}$

Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}.SA.S_{ABC}=\frac{1}{6}.SA.AC.BC=\frac{1}{6}.\frac{2a}{\sqrt{15}}.\frac{a}{\sqrt{15}}.a=\frac{a^3}{45}$.