Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 94)

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

a) EF = AH.

b) AM ⊥ EF.

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}={90}^{\circ }$

Vì E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC nên HE vuông góc với AB, HF vuông góc với AC.

Do đó, $\widehat{HEB}=\widehat{HEA}=\widehat{HFA}=\widehat{HFC}={90}^{\circ }$

Xét tứ giác AFHE có: $\widehat{HEA}=\widehat{HFA}=\widehat{BAC}={90}^{\circ }$

Do đó, tứ giác AFHE là hình chữ nhật.

Suy ra AH = FE (hai đường chéo bằng nhau).

b) Vì tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên $\widehat{FHE}={90}^{\circ }$

Vì AM là đường trung tuyến trong tam giác ABC vuông tại A nên

$AM=MB=MC=\frac{1}{2}BC$

Tam giác AMB có AM = MB nên tam giác AMB cân tại M.

Do đó, $\widehat{MAB}=\widehat{B}$

Lại có $\widehat{B}=\widehat{AHE}={90}^{\circ }-\widehat{HEB}$

Nên $\widehat{MAB}=\widehat{AHE}$ (1).

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo FE và AH của hình chữ nhật AFHE.

Do đó, OH = OE = OF = OA.

Tam giác OAE có OA = OE nên tam giác OAE cân tại O.

Suy ra $\widehat{OEA}=\widehat{OAE}$

Mà AE song song với FH (do AFHE là hình chữ nhật) nên $\widehat{OHF}=\widehat{OAE}$ (hai góc so le trong).

Do đó, $\widehat{OHF}=\widehat{OEA}$(2).

Lại có $\widehat{OHF}+\widehat{OHE}=\widehat{FHE}={90}^{\circ }$(3).

Từ (1), (2), (3) ta có: $\widehat{MAB}+\widehat{OEA}={90}^{\circ }$

Gọi K là giao điểm của AM và EF.

Khi đó, $\widehat{KAE}+\widehat{KEA}={90}^{\circ }$

Suy ra $\widehat{AKE}={90}^{\circ }$

Vậy AM vuông góc với EF tại K.