Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 94)

Đề bài. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi E là hình chiếu của H trên AB.

a. Biết AE = 3,6 cm; BE = 6,4 cm. Tính AH, EH và góc $\widehat{B}$ (Số đo góc làm tròn đến độ)

b. Kẻ HF vuông góc với AC tại F. Chứng minh AB.AE = AC.AF.

c. Đường thẳng qua A và vuông góc với EF cắt BC tại D; EF cắt AH tại O.

Chứng minh rằng $S_{ADC}=\frac{S_{AOE}}{{\sin }^{2}B.{\sin }^{2}C}.$

Lời giải:

a) Trong tam giác ABH vuông tại H, ta có:

EH² = AE.BE = 3,6.6,4 = 23,04 ⇒ EH = 4,8 (cm)

AH² = AE.AB = 3,6(3,6 + 6,4) = 36 ⇒ AH = 6 (cm)

$sin\widehat{B}=\frac{AH}{AB}=\frac{6}{3,6+6,4}\Rightarrow \widehat{B}=36,{87}^{\circ }\approx {37}^{\circ }$

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABH vuông tại H:

AH² = AE.AB

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ACH vuông tại H:

AH² = AF.AC

Suy ra: AB.AE = AC.AF (= AH²)

c) Xét tam giác AEF và tam giác ABC có:

Chung $\widehat{A}$

$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$ (từ AB.AE = AC.AF)

⇒ ∆AEF ∽ ∆ACB (c.g.c)

⇒ $\widehat{AEF}=\widehat{ACB};\widehat{AFE}=\widehat{ABC}$

Gọi I là giao điểm AD và EF

Có: tam giác IAF vuông tại I nên $\widehat{IAF}+\widehat{IFA}={90}^{\circ }$

Tam giác ABH vuông tại H nên $\widehat{BAH}+\widehat{ABH}={90}^{\circ }$

Mà: $\widehat{AFE}=\widehat{ABC}$ hay $\widehat{IFA}=\widehat{ABH}$ nên $\widehat{BAH}=\widehat{IAF}$

Xét tam giác AOE và ADC có:

$\widehat{EAO}=\widehat{DAC} (vì \widehat{BAH}=\widehat{IAF})$

$\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\iff \widehat{AEO}=\widehat{DCA}$

Suy ra: ∆AOE ∽ ∆ADC (g.g)

⇒ $$\begin{gathered} \frac{S_{ADC}}{S_{AOE}}=\frac{A{C}^2}{A{E}^2}=\frac{{\left(\frac{AH}{\sin C}\right)}^2}{{(AH.\cos \widehat{BAH})}^2} \\ =\frac{1}{{\sin }^{2}C.{\cos }^2\widehat{BAH}}=\frac{1}{{\sin }^{2}C.{\sin }^{2}B} \end{gathered}$$

(vì tam giác ABH vuông tại H nên $\cos \widehat{BAH}=\sin \widehat{B}$).