Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 94)

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) có đường cao AH. Gọi AD là phân giác của $\widehat{HAB}.$

a) Tính cạnh AH, AC biết HB = 18cm, HC = 8cm.

b) Chứng minh tam giác ADC cân và HD.BC = BD.DC.

c) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.

Chứng minh S_AEF = S_ABC.(1 - cos²B).sin²C.

Lời giải:

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, AH ⊥ BC

Nên: AH² = BH.CH = 18.8 = 144

⇒ AH = 12cm.

AC = $\sqrt{A{H}^2+H{C}^2}\mathrm{ }=4\sqrt{13}$

b) Vì AD là phân giác $\widehat{BAH}$ $\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{DAH}$

$\widehat{HAC}={90}^{\circ }-\widehat{HAB}=\widehat{ABH}=\widehat{ABD}$

⇒ $\widehat{CDA}=\widehat{DAB}+\widehat{DBA}=\widehat{DAH}+\widehat{CAH}=\widehat{CAD}$

Suy ra: tam giác CAD cân tại C ⇒ CA = CD

Vì AD là phân giác $\widehat{BAH}$ ⇒ $\frac{DH}{DB}=\frac{AH}{AB}=\sin B=\frac{AC}{BC}$

⇒ HD.BC = BD.AC = DB.CD

c) Ta có: HE ⊥ AB, HF ⊥ AC, AB ⊥ AC

Nên AEHF là hình chữ nhật

⇒ AH = EF

⇒ $\widehat{AEF}=\widehat{EAH}=\widehat{BAH}={90}^{\circ }-\widehat{B}=\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{EAF}=\widehat{BAC}$

⇒ ∆AFE ∽ ∆ABC (g.g)

⇒$\frac{S_{AFE}}{S_{ABC}}={\left(\frac{EF}{BC}\right)}^2=\frac{A{H}^2}{B{C}^2}$
Ta có: 1 – cos²B = sin²B

⇒ (1 – cos²B)sin²C = sin²Bsin²C = (sinBsinC)²

= ${(\frac{AC}{BC}.\frac{AB}{BC})}^2={\left(\frac{AB.AC}{B{C}^2}\right)}^2={\left(\frac{AH.BC}{B{C}^2}\right)}^2={\left(\frac{AH}{BC}\right)}^2$

⇒ $\frac{S_{AFE}}{S_{ABC}}=(1--co{s}^{2}B)si{n}^{2}C$

⇒ S_AEF = S_ABC.(1 - cos²B).sin²C.