Cho a, b >0 thỏa mãn a + b ≤ 1 Tìm GTNN của P = a^2 + b^2 + 1/a^2 + 1/b^2

Cho a, b >0 thỏa mãn a + b ≤ 1 Tìm GTNN của P = a^2 + b^2 + 1/a^2 + 1/b^2

Nguyễn Mạnh Tài Ngày: 15-04-2024 Tổng hợp kiến thức

127

Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 91)

Đề bài. Cho a, b >0 thỏa mãn a + b ≤ 1. Tìm GTNN của $P = a^{2} + b^{2} + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$ .

Lời giải:

$P = (a^{2} + \frac{1}{16 a^{2}}) + (b^{2} + \frac{1}{16 b^{2}}) + \frac{15}{16} (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}})$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

$a^{2} + \frac{1}{16 a^{2}} \geq \frac{1}{2}; b^{2} + \frac{1}{16 b^{2}} \geq \frac{1}{2}; \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{2}{a b} = \frac{4}{2 a b}$

Mặt khác: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{4}{a^{2} + b^{2}}$

Suy ra: $2 (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}) \geq 4 (\frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{2 a b}) \geq 4. \frac{4}{a^{2} + b^{2} + 2 a b} = \frac{16}{{(a + b)}^{2}} = 16$

Suy ra: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq 8$

Vậy $P \geq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{15}{16} .8 = \frac{17}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi: $\{\begin{cases} a = b \\ a + b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$ .

Xem thêm các bài tập thường gặp môn Toán hay, chọn lọc khác:

Đề bài. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua trung điểm E của OB kẻ một đường thẳng vuông góc với OB, cắt đường tròn (O) ở M và N. Kẻ dây MP song song với AB. Gọi I là điểm chính giữa của cung nhỏ PM. Gọi K là giao điểm của OI và PM. Chứng minh rằng:

Đề bài. Cho đa thức R(x) = x² – 2x. Tính giá trị biểu thức

Đề bài. Rút gọn biểu thức: (4x – 1)³ - (4x − 3)(16x² + 3).

Đề bài. Cho tam giác ABC. Hai điểm M và N di chuyển sao cho $\vec{M N} = 2 \vec{M A} - \vec{M B} + \vec{M C}$ . Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định.

Đề bài. Tìm m để A giao B bằng rỗng biết A = [m; m + 1] và B = (-1; 3).

Đề bài. Cho hình bình hành ABCD. Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các hình vuông ABEF và ADGH. Chứng minh:

Đề bài. Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm của AC và BD.

Đề bài. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác này các tam giác ABD và tam giác ACE vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng hai đường thẳng MA và BC vuông góc với nhau.

Đề bài. Hai bạn An và Hưng cùng xuất phát từ điểm P, đi theo hai hướng khác nhau và tạo với nhau một góc 40° để đến đích là điểm D. Biết rằng họ dừng lại để ăn trưa lần lượt tại A và B (như hình vẽ minh hoạ). Hỏi Hưng phải đi bao xa nữa để đến được đích?

Đề bài. Chứng minh B = 3 + 3² + … + 3⁹⁹ không phải là số chính phương.

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 1,8cm, HC = 3,2cm

Đề bài. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x² – xy + y + 2 = 0.

Đề bài. Cho tam giác ABC, dựng ra phía ngoài các hình vuông ABGD và ACEF, vẽ đường cao AH, kéo dài HA gặp DF tại I. Chứng minh: DI = IF.

Đề bài. Tìm x biết 12x.(3 - 4x) + 7(4x - 3) = 0.

Đề bài. Tìm GTNN của A = x² – 6x + 6.

Đề bài. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), phân giác BD và CE. Gọi I là trung điểm của BC, J là trung điểm của ED, O là giao điểm của BD và CE.

Đề bài. Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Vẽ tia Ax nằm giữa tia AB và tia AO cắt đường tròn (O) tại hai điểm C và D (C nằm giữa A và D). Gọi M là trung điểm của dây CD, kẻ BH vuông góc với AO tại H.

Đề bài. Chứng minh đẳng thức: $(\frac{\tan x}{1 - \tan {(x)}^{2}}) \frac{\cot {(x)}^{2} - 1}{\cot (x)} = 1$ .

Đề bài. Tìm số tròn trăm biết: 18650 < X . 3 < 18920.

Đề bài. Số học sinh khối 6 của một trường trong khoảng từ 400 đến 500 em. Nếu xếp hàng 7 em thì thừa ra 3 em, còn nếu xếp hàng 6 em, 8 em hoặc 10 em thì vừa đủ. Hỏi số học sinh khối 6 của trường là bao nhiêu em?

Đề bài. Cho tống S = 30 + 42 - 6 + x với x thuộc ℕ. Tìm x để S chia hết cho 6.

Đề bài. Cho A = 2 + 2²+....... + 2⁶⁰.

Đề bài. Chứng minh rằng nếu $(\bar{a b} + \bar{c d})$ chia hết cho 11 thì $\bar{a b c d}$ cũng chia hết cho 11 (biết rằng $\bar{a b}, \bar{c d}$ là số tự nhiên có hai chữ số; $\bar{a b c d}$ là số tự nhiên có 4 chữ số).

Đề bài. Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a - b = 84 , ƯCLN(a, b) = 12 .

Đề bài. Chứng minh tồn tại vô hạn các số nguyên tố.

Đề bài. Đội văn nghệ có 36 bạn, được xếp thành các hàng có số người bằng nhau. Hỏi có thể có những cách xếp hàng nào, biết mỗi hàng có từ 4 đến 12 bạn.

Đề bài. Tính nhanh: A = 1 - 3 + 5 - 7 + 9 - 11 + ... + 91 - 93 + 95 - 97 + 99.

Đề bài. Tìm n sao cho 25 < 3ⁿ < 250.

Đề bài. Tìm miền giá trị của $y = \frac{\sin x + 1}{\cos x + 2}$ .

Đề bài. Cho A = 2 + 2² + … + 2¹⁰⁰. Chứng minh rằng A chia hết cho 3.

Đề bài. Tìm x biết (x – 1)⁵ = 32.

Đề bài. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Đề bài. Tìm chu kì T của hàm số y = cos3x + cos5x.

Đề bài. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, CD. Chứng minh MN // (SBC).

Đề bài. Hiện nay mẹ hơn con 24 tuổi. Tuổi mẹ và tuổi con cộng lại là 56. Hỏi hiện nay mẹ bao nhiêu tuổi? Con bao nhiêu tuổi?

Đề bài. Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng 1 tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng ba tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng lãi xuất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.

Đề bài. Cho hình vẽ sau. Tính số đo góc x?

Đề bài. Chứng minh biểu thức $A = \frac{{(1 - \tan^{2} x)}^{2}}{4 \tan^{2} x} - \frac{1}{4 \sin^{2} x \cos^{2} x}$ không phụ thuộc vào x.

Đề bài. Từ 1 điểm A ở bên ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Chứng minh OA là trung trực của đoạn BC.

Đề bài. Giải phương trình x(x − 3) – x + 3 = 0.

Đề bài. Giải phương trình (x – 1)⁵ = 32.

Đề bài. Biến đổi thành tích: A= cosx + cos3x + cos5x + cos7x.

Đề bài. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 5(xy + yz + zx) = 4xyz.

Đề bài. Một ô tô chạy 100km hết 12 lít xăng. Hỏi cần bao nhiêu lít xăng khi ô tô chạy quãng đường thứ nhất 138km và quãng đường thứ hai 162km?

Đề bài. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm bất kì thuộc tia Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By ở N. Tính số đo góc $\hat{M O N}$ .

Đề bài. Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 100 °, \hat{B} - \hat{C} = 50 °$ . Tính $\hat{B}, \hat{C}$ .

Đề bài. Tìm giá trị của m để phương trình sin2x – m = 1 có nghiệm.

Đề bài. Giải phương trình sin3x – cos2x = 0.

Đề bài 1. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Hỏi $\vec{M P} + \vec{N P}$ bằng vecto nào?

Đề bài 2. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Xác định hiệu $\vec{A M} - \vec{A N}, \vec{M N} - \vec{N C}, \vec{M N} - \vec{P N}, \vec{B P} - \vec{C P}$ .

Đề bài. Cho biểu thức $E = \frac{a + 1}{a - 2}$ . Tìm a ∈ ℤ để E ∈ ℤ.

Đề bài. Cho tam giác ABC. Chứng minh

Đề bài. Cho hình vuông ABCD cạnh a, M bất kì.

Tính độ dài của $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} - 3 \vec{M D}$ .

Đề bài. Tìm x để 50 chia hết cho x + 1.

Đề bài. Tìm x, y, z biết: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4}$ và x – y + z = –4.

Đề bài. Một con tàu khởi hành từ đảo A, đi thẳng về hướng đông 10 km rồi đi thẳng tiếp 10 km về hướng nam thì tới đảo B (H.4.2). Nếu từ đảo A, tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo B, thì phải đi theo hướng nào và quãng đường phải dài bao nhiêu kilômét?

Đề bài. Tìm số tự nhiên n có 3 chữ số khác nhau biết rằng nếu xóa bất kì chữ số nào của nó ta cũng được một số là ước của n.

Đề bài. Tập giá trị của hàm số y = 2sin²x – sinx – 1 là đoạn [m; M]. Khi đó 8m – 3M bằng?

Đề bài. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x³ + 2x² + (m − 3)x + m có hai điểm cực trị và điểm M(9; −5) nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.

Đề bài. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: y = (2m + 10)x - 4m - 1 và điểm A(-2;3). Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng lớn nhất.

Đề bài. Tìm tập hợp các số tự nhiên n sao cho (3n + 7) chia hết cho (n - 2).

Đề bài. Tìm tập hợp các số tự nhiên n sao cho (6n + 9) chia hết cho (2n + 1).

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh BC.BE.CF = AH³.

Đề bài. Cho góc $\hat{x O y}$ . Lấy hai điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy hai điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:

Đề bài. cho hình bình hành ABCD, đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD, kẻ CH vuông góc với AD, CK vuông góc với AB.

Đề bài. Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ $\vec{A G}, \vec{C G}$ theo hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ .

Đề bài. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của cạnh BC. Vẽ các điểm F, E, G sao cho B, M, C theo thứ tự là trung điểm của AF, AE và AG. Chứng minh ba điểm F, E, G thẳng hàng.

Đề bài. Cho tam giác ABC nhọn đường cao AH. E, F là hình chiếu của H lên AB, AC. Khi S_AHE = 4cm², S_BHE = 1cm². Tính AB biết EH = 2 cm.

Đề bài. Cho ∆ ABC nhọn, đường cao AH. Kẻ HE ⊥ AB (E ∈ AB), HF ⊥ AC (F ∈ AC).

Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC

Đề bài. Một cung lượng giác trên đường tròn định hướng có độ dài bằng một nửa bán kính. Số đo theo rađian của cung đó là?

Đề bài. Một sân trường hình chữ nhật có nửa chu vi là 120 m. Chiều rộng bằng chiều dài. Hỏi diện tích của sân trường đó bằng bao nhiêu mét vuông, bao nhiêu ha?

Đề bài. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng: $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{E F} = \vec{A D} + \vec{E B} + \vec{C F}$

Đề bài. Cho A = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁴⁸. Chứng minh rằng A chia hết cho 2, 3, 7.

Đề bài. Cho A = 3³.2².19. Hỏi các số 27; 4; 16; 19; 24 có là ước của A không?

Đề bài. Cho A = 5 + 5² + … + 5²⁰²². Tìm x để 4A + 5 = 5^x.

Đề bài. Tính $C = \sqrt{a^{8} + 10 a + 13} + a$ biết a là nghiệm dương của phương trình $\sqrt{2}$ x² + x – 1 = 0.

Đề bài. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ AE ⊥ BC tại E, DF ⊥ AB tại F. Biết AE = DF. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thoi.

Đề bài. Cho a + b + c = 0 và a² + b² + c² = 1. Tính a⁴ + b⁴ + c⁴.

Đề bài. Tìm GTLN của a² + b² + c² biết a, b, c thỏa mãn 1 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 6.

Đề bài. Cho a,b là các số thực dương thoả mãn điều kiện $(\sqrt{a} + 1) (\sqrt{b} + 1) = 4$ . Tìm min của $P = \frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{a}$ .

Đề bài. Cho a và b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 5 dư 1; b chia cho 5 dư 4. Chứng minh ab + 1 chia hết cho 5.

Đề bài. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(1;3); B(-2;2); C(-1;-3). Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

Đề bài. Cho a, b, c là 3 số nguyên dương thỏa mãn tổng của 160 và bình phương của a bằng tổng của 5 và bình phương của b. Tổng của 320 và bình phương của a bằng tổng của 5 và bình phương của c. Tìm a

Đề bài. Cho 2 số thực dương a, b thỏa mãn a² + 2ab + 2b² – 2b = 8.

Chứng minh rằng 0 < a + b ≤ 3.

Đề bài. Cho a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = 25; c² + d² = 16; ac + bd ≥ 20. Tìm max a + d.

Đề bài. Cho các số thực a, b, c sao cho a + b + c = 3; a² + b² + c² = 29 và abc = 11. Tính a⁵ + b⁵ + c⁵.

Đề bài. Cho a, b >0 thỏa mãn a + b ≤ 1. Tìm GTNN của $P = a^{2} + b^{2} + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$ .

Đề bài. Cho $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} = 1$ . Chứng minh rằng $\frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{a + c} + \frac{c^{2}}{a + b} = 0$ .

Đề bài. Giả sử a, b là 2 số thực phân biệt thỏa mãn: a² + 3a = b² + 3b = 2. Chứng minh rằng a³ + b³ = -45.

Đề bài. Cho hai tập hợp A = (-1;2] và B = {x ∈ R| mx ≥ 1} (với m là tham số thực). Xác định tất cả giá trị của tham số m để A ∩ B = ∅.

Đề bài. Cho A = 3 + 3² + 3³ + … + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰. Hỏi 2A + 3 có phải là số chính phương không?

Đề bài. Cho A = [1;2], B = [m; m + 2]. Tìm m để B là tập con của của A.

Đề bài. Cho A = (2m - 1; 2m + 3) và B = (-1; 1).

Xác định m để B là tập con A và A ∩ B = ∅.

Đánh giá

0

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Tổng hợp kiến thức

Biết a - b chia hết cho 6 chứng minh rằng các biểu thức sau cũng chia hết cho 6

Biết a - b chia hết cho 6 chứng minh rằng các biểu thức sau cũng chia hết cho 6 Lữ Ngọc My My

170

Toán Tổng hợp kiến thức

Tìm các tập hợp Ư(8); Ư(12); Ư(15)

Tìm các tập hợp Ư(8); Ư(12); Ư(15) Lữ Ngọc My My

143

Toán Tổng hợp kiến thức

Tìm BCNN của 84 và 108

Tìm BCNN của 84 và 108 Lữ Ngọc My My

115

Toán Tổng hợp kiến thức

Cho biết cos∝ = 12/13 giá trị của tan ∝ là

Cho biết cos∝ = 12/13 giá trị của tan ∝ là Lữ Ngọc My My

117

Tìm kiếm

tailieugiaovien.com.vn

Bài Viết Xem Nhiều

CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK

- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền

- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.

© 2021 Vietjack. All Rights Reserved.