Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 91)

Đề bài. Cho ∆ ABC nhọn, đường cao AH. Kẻ HE ⊥ AB (E ∈ AB), HF ⊥ AC (F ∈ AC).

a) Chứng minh: ∆AEH ∽ ∆AHB. Từ đó suy ra AH² = AE.AB.

b) Chứng minh AE. AB = AF.AC.

c) Cho chu vi các ∆AEF và ∆ACB lần lượt là 20 cm và 30 cm. Tính diện tích ∆AEF và ∆ACB biết diện tích ∆ACB lớn hơn diện tích ∆AEF là 25 cm².

Lời giải:

a) Vì AH là đường cao (giả thiết)

AH ⊥ BC

∆AHB vuông tại H

Lại có HE ⊥ AB (giả thiết)

∆AEH vuông tại E

Do đó $\widehat{AEH}=\widehat{AHB}=90°$

Xét ∆AEH và ∆AHB có:

$\widehat{AEH}=\widehat{AHB}=90°$(chứng minh trên)

$\widehat{BAH}$ chung

Do đó ∆AEH ∽ ∆ AHB (g.g)

⇒ $\frac{AH}{AB}=\frac{AE}{AH}$ (tỉ số đồng dạng)

Suy ra: AH² = AE.AB. (1)

b) Vì AH ⊥ BC (chứng minh câu a) nên $\widehat{AHC}=90°$

Vì HF ⊥ AC (giả thiết) nên $\widehat{AFH}=90°$

Xét ∆AFH và ∆AHC có

$\widehat{AFH}=\widehat{AHC}=90°$

$\widehat{HAF}$ chung

Do đó ∆AFH ᔕ ∆AHC (g.g)

⇒ $\frac{AF}{AH}=\frac{AH}{AC}$ (tỉ số đồng dạng)

Suy ra: AH² = AF.AC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AE. AB = AF.AC

c) Theo b có: AE. AB = AF.AC nên: $\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$

Xét ∆AEF và ∆ACB có

$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$

$\widehat{A}$ chung

Do đó ∆AEF ᔕ ∆ACB (c.g.c)

⇒ $\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}=\frac{EF}{BC}$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{AE+AF+EF}{AC+AB+BC}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$

(vì chu vi ∆AEF và ∆ACB lần lượt là 20 cm và 30 cm)

$\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}={\left(\frac{AE}{AC}\right)}^2=\frac{4}{9}\Rightarrow \frac{S_{AEF}}{4}=\frac{S_{ABC}}{9}=\frac{S_{ABC}-S_{AEF}}{9-4}=\frac{25}{5}=5$ (Do S_ABC – S_AEF = 25 cm²)

Vậy S_AEF = 5.4 = 20 (cm²)

S_ABC = 20 + 25 = 45 (cm²).