Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 91)

Đề bài. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), phân giác BD và CE. Gọi I là trung điểm của BC, J là trung điểm của ED, O là giao điểm của BD và CE.

Chứng minh:

a) Tứ giác BEDC là hình thang cân.

b) BE = ED = DC.

c) Bốn điểm A, I, O, J thẳng hàng.

Lời giải:

a) Ta có: $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$(vì tam giác ABC cân tại A)

⇒ $\widehat{DBC}=\widehat{ECB}$

Xét tam giác DBC và tam giác ECB có:

$\widehat{DCB}=\widehat{EBC}$(vì $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ )

BC là cạnh chung

$\widehat{DBC}=\widehat{ECB}$

⇒ ∆DBC = ∆ECB (g.c.g)

⇒ BE = CD mà AB = AC

Nên ta có: $\frac{BE}{AB}=\frac{CD}{AC}$

⇒ ED // BC

b) Từ phần a trên đã có BE = CD

Có: $\widehat{EDB}=\widehat{DBC}$ (so le trong)

mà $\widehat{EBD}=\widehat{DBC}$ (BD là phân giác)

⇒ $\widehat{EBD}=\widehat{EDB}$

⇒ Tam giác BED cân tại E

⇒ BE = ED

⇒ BE = ED = CD.

c) AI cắt ED tại J', ta chứng minh J' ≡ J

Từ tính chất tam giác đồng dạng ta có: $\frac{EJ\text{'}}{BI}=\frac{AE}{AB}=\frac{ED}{BC}=\frac{ED}{2BI}$

⇒ EJ' = $\frac{ED}{2}$ ⇒ J' là trung điểm ED ⇒ J' ≡ J

Vậy A, I, J thẳng hàng

*OI cắt ED tại J" ta chứng minh J" ≡ J

Xét tam giác ODE và tam giác OBC có:

$\widehat{DOE}=\widehat{BOC}$(đối đỉnh)

$\widehat{EDO}=\widehat{OBC}$(so le trong, DE // BC)

∆ODE ∽ ∆OBC (g.g)

⇒ $\frac{OD}{OB}=\frac{ED}{BC}$

Mặt khác: $\widehat{J\text{'}\text{'}DO}=\widehat{OBI}$(so le trong), $\widehat{J\text{'}\text{'}OD}=\widehat{IOB}$ (đối đỉnh)

⇒ ∆J"DO ∽ ∆IBO (g.g)

⇒ $\frac{J"D}{IB}=\frac{OD}{OB}=\frac{ED}{BC}=\frac{ED}{2BI}$

⇒ $J"D=\frac{ED}{2}$

⇒ J" là trung điểm ED ⇒ J" ≡ J

Tóm lại A, I, O, J thẳng hàng.