Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 91)

Đề bài. Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Vẽ tia Ax nằm giữa tia AB và tia AO cắt đường tròn (O) tại hai điểm C và D (C nằm giữa A và D). Gọi M là trung điểm của dây CD, kẻ BH vuông góc với AO tại H.

a, Tính tích OH.OA theo R.

b, Chứng minh 4 điểm A, B, M, O cùng thuộc một đường tròn.

c, Gọi E là giao điểm của OM với HB. Chứng minh ED là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).

Lời giải:

a) Xét tam giác AMO vuông tại A có AH vuông góc MO

Áp dụng hệ thức lượng: OH.OM = OA² = R²

b) Xét (O) có M là trung điểm CD nên OM vuông góc CD (bán kính vuông góc dây cung)

⇒ $\widehat{OMA}=90°$

Lại có: BA là tiếp tuyến nên $\widehat{OBA}=90°$

Suy ra: M, B thuộc đường tròn đường kính OA

Hay A, B, M, O cùng thuộc một đường tròn.

c) Xét tam giác OHE và tam giác OMA có:

$\widehat{OHE}=\widehat{OMA}=90°$

Chung $\widehat{O}$

⇒ ∆OHE ∽ ∆OMA (g.g)

⇒ $\frac{OH}{OM}=\frac{OE}{OA}\Rightarrow OM.OE=OH.OA=R^2=O{D}^2$

Suy ra: $\frac{OM}{OD}=\frac{OD}{OE}$

Xét tam giác ODE và tam giác OMD có:

$\frac{OM}{OD}=\frac{OD}{OE}$

Chung $\widehat{O}$

⇒ ∆ODE ∽ ∆OMD (c.g.c)

⇒ $\widehat{ODE}=\widehat{OMD}=90°$

Suy ra: OD ⊥ ED mà D thuộc (O) nên ED là tiếp tuyến của (O).