Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu các dạng bài tập môn Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, các dạng bài tập thường gặp giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 91)

Đề bài. cho hình bình hành ABCD, đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD, kẻ CH vuông góc với AD, CK vuông góc với AB.

a, Chứng minh tam giác BCK đồng dạng tam giác DCH.

b, Chứng minh tam giác CKH đồng dạng tam giác BCA.

c, Chứng minh HK = AC.sin $\widehat{BAD}$.

d, Tính diện tích của tứ giác AKCH nếu $\widehat{BDA}=60°$ , AB = 4cm, AC = 5cm.

Lời giải:

a) Ta có: $\widehat{KBC}=\widehat{BAD}$ (2 góc ở vị trí so le trong)

Mà $\widehat{CDH}=\widehat{BAD}$ (2 góc đồng vị)

Suy ra: $\widehat{CDH}=\widehat{KBC}$

Xét tam giác BCK và DCH có

$\widehat{CDH}=\widehat{KBC}$

$\widehat{K}=\widehat{H}=90°$

⇒ ∆BCK ~ ∆DCH (g.g)

b) Tứ giác AKCH có: $\widehat{AKC}+\widehat{AHC}=90°+90°=180°$

Suy ra: AKCH nội tiếp đường tròn đường kính AC

Suy ra: $\widehat{KAC}=\widehat{KHC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung KC) (1)

Và $\widehat{CKH}=\widehat{CHA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung HC)

Mà $\widehat{HAC}=\widehat{BCA}$ (2 góc so le trong)

⇒ $\widehat{CKH}=\widehat{BCA}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tam giác CKH đồng dạng tam giác BCA (g.g)

c) Do ∆BCK ∽ ∆DCH (g.g) nên $\frac{CK}{CH}=\frac{BC}{DC}\left(3\right)$

∆CKH ∽ ∆BCA (g.g) nên $\frac{CK}{BC}=\frac{KH}{AC}\left(4\right)$

Từ (3): $\frac{CK}{BC}=\frac{CH}{DC}\left(5\right)$

Từ (4) và (5); $\frac{CK}{BC}=\frac{KH}{AC}=\frac{CH}{DC}=\sin \widehat{CDH}$

Mà $\widehat{CDH}=\widehat{BAD}$ (đồng vị)

Nên: $\frac{KH}{AC}=\sin \widehat{BAD}$ hay HK = AC.sin

d) $\widehat{CDH}=\widehat{BAD}=60°$

DC = AB = 4

Tam giác DHC vuông có: $\sin \widehat{CDH}=\frac{CH}{DC}\Rightarrow CH=DC.\sin \widehat{CDH}=4.\sin 60°=2\sqrt{3}$

$DH=\sqrt{D{C}^2-C{H}^2}=\sqrt{4^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}=2$

AH = AD + DH = 5 + 2 = 7

$S_{AHC}=\frac{1}{2}.AH.CH=\frac{1}{2}\mathrm{.7.2}\sqrt{3}=7\sqrt{3}$

BC = AD = 5

$\sin \widehat{KBC}=\frac{KC}{BC}\Rightarrow KC=BC.\sin \widehat{KBC}=BC.\sin \widehat{CDH}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$

$BK=\sqrt{B{C}^2-K{C}^2}=\frac{5}{2}$

AK = AB + BK = $\frac{13}{2}$

$S_{ACK}=\frac{1}{2}.AK.CK=\frac{1}{2}.\frac{13}{2}.\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{65\sqrt{3}}{8}$

Vậy S_AKCH = S_ACH + S_ACK =$7\sqrt{3}+\frac{65\sqrt{3}}{8}=\frac{121\sqrt{3}}{8}$ .