Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu bộ câu hỏi Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 6)

Bài 54: Cho tam giác ABC vuông góc tại A có AC = 12 cm, BC = 16 cm. Lấy H thuộc BC sao cho CH = 9 cm. Kẻ phân giác của góc ACH cắt AH tại M. Kẻ phân giác của góc BAH cắt BH tại N.

a) Chứng minh: tam giác CAB đồng dạng với tam giác CHA và AH vuông góc BC.

b) Tính NB, NH.

c) Chứng minh MN // AB.

d) MB cắt AN tại O, cắt đường thẳng qua N và song song với AH tại I. Chứng minh \(\frac{1}{{MO}} = \frac{1}{{MI}} + \frac{1}{{MB}}\).

Lời giải:

a) Ta có: \(\frac{{CA}}{{CH}} = \frac{{12}}{9} = \frac{4}{3}\) và \(\frac{{CB}}{{CA}} = \frac{{16}}{{12}} = \frac{4}{3}\). Do đó, \(\frac{{CA}}{{CH}} = \frac{{CB}}{{CA}}\) hay \(\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{CH}}{{CA}}\).

Xét tam giác ACB và tam giác HCA có:

\(\widehat {ACB}\): góc chung

\(\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{CH}}{{CA}}\) (cmt)

Do đó, hai tam giác ACB và HCA đồng dạng (c – g – c).

Suy ra \(\widehat {AHC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) nên AH vuông góc với BC tại H.

b) Tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:

BC² = AB² + AC², suy ra AB² = BC² – AC² = 16² – 12² = 112, suy ra AB = \(4\sqrt 7 \) (cm).

Tam giác AHC vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

AC² = AH² + HC², suy ra AH² = AC² – CH² = 12² – 9² = 63 ⇒ AH = \(3\sqrt 7 \) (cm).

Ta có: BH + HC = BC, suy ra BH = BC – HC = 16 – 9 = 7 (cm).

Vì AN là tia phân giác của góc BAH nên \(\frac{{NB}}{{NH}} = \frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{4\sqrt 7 }}{{3\sqrt 7 }} = \frac{4}{3}\).

\( \Rightarrow \frac{{NB}}{{NB + NH}} = \frac{4}{{4 + 3}} \Rightarrow \frac{{NB}}{{BH}} = \frac{4}{7} \Rightarrow NB = \frac{4}{7}BH = \frac{4}{7}.7 = 4\) (cm).

Suy ra NH = BH – NB = 7 – 4 = 3 (cm).

c) Vì CM là tia phân giác của góc ACH nên \(\frac{{MH}}{{MA}} = \frac{{CH}}{{AC}} = \frac{9}{{12}} = \frac{3}{4}\).

Suy ra \(\frac{{MH}}{{HA}} = \frac{3}{7}\).

Ta có: \(\frac{{NH}}{{HB}} = \frac{3}{7}\). Do đó, \(\frac{{MH}}{{HA}} = \frac{{NH}}{{HB}}\).

Theo định lí Talet trong tam giác HAB, ta suy ra MN // AB.

d)

Theo giả thiết ta có: NI // AH nên \(\frac{{MO}}{{OI}} = \frac{{AO}}{{ON}} \Rightarrow \frac{{MO}}{{MO + OI}} = \frac{{AO}}{{AO + ON}} \Rightarrow \frac{{MO}}{{MI}} = \frac{{AO}}{{AN}}\).

Theo câu c ta có: MN // AB nên \(\frac{{MO}}{{BO}} = \frac{{NO}}{{AO}} \Rightarrow \frac{{MO}}{{MO + BO}} = \frac{{NO}}{{NO + AO}} \Rightarrow \frac{{MO}}{{MB}} = \frac{{NO}}{{AN}}\).

Từ đó suy ra: \(\frac{{MO}}{{MI}} + \frac{{MO}}{{MB}} = \frac{{AO}}{{AN}} + \frac{{NO}}{{AN}} = \frac{{AO + NO}}{{AN}} = \frac{{AN}}{{AN}} = 1\).

Suy ra \(\frac{{MO}}{{MI}} + \frac{{MO}}{{MB}} = 1 \Leftrightarrow MO\left( {\frac{1}{{MI}} + \frac{1}{{MB}}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{MI}} + \frac{1}{{MB}} = \frac{1}{{MO}}\).

Vậy \(\frac{1}{{MO}} = \frac{1}{{MI}} + \frac{1}{{MB}}\) (đpcm).