Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu bộ câu hỏi Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 6)

Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt cạnh AC, AB lần lượt tại D và E. Gọi H là giao điểm của BD và CE, K là giao điểm của DE và AH, F là giao điểm của AH và BC, M là trung điểm của AH. Chứng minh MD² = MK.MF.

Lời giải:

Vì B; E; D; C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

Suy ra \(\widehat {BEC} = \widehat {BDC}\) = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

BD và CE là đường cao của tam giác ABC nên H là trực tâm của tam giác.

Suy ra AH vuông góc BC tại F.

\( \Rightarrow \widehat {AFB} = \widehat {ADB}\) = 90° hay đỉnh D, F cùng nhìn AB dưới một góc 90°

Do đó, tứ giác ABED nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {AFD}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AD) (1).

Lại có tam giác ADH vuông tại D, M là trung điểm của AH nên DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH, suy ra DM = AM nên tam giác ADM cân tại M.

\( \Rightarrow \widehat {MAD} = \widehat {MDA}\) (2).

Mà OD = OC (bán kính đường tròn (O)), suy ra tam giác ODC cân tại O.

\( \Rightarrow \widehat {ODC} = \widehat {OCD}\) (3).

Cộng vế theo vế (2) với (3) ta được: \(\widehat {MAD} + \widehat {OCD} = \widehat {MDA} + \widehat {ODC}\).

Do AF vuông góc với BC nên \(\widehat {MAD} + \widehat {OCD} = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {MDA} + \widehat {ODC} = 90^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {MDO} = 90^\circ \).

Khi đó MD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {MDE}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây chắn cung ED) (4).

Từ (1) và (4) suy ra \(\widehat {MDE} = \widehat {AFD}\).

Xét tam giác MDK và tam giác MFD có:

\(\widehat {DMF}\): góc chung

\(\widehat {MDK} = \widehat {MFD}\,\,\,\,\,\left( {\widehat {MDE} = \widehat {AFD}} \right)\)

Do đó, tam giác MDK đồng dạng với tam giác MFD (g.g).

Suy ra \(\frac{{MD}}{{MF}} = \frac{{MK}}{{MD}}\)\( \Rightarrow M{D^2} = MK.MF\) (đpcm).