Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu bộ câu hỏi Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 6)

Bài 18: Cho tam giác ABC thỏa mãn: $\frac{a.\cos A+b.\cos B+c.\cos C}{a+b+c}=\frac{1}{2}$ (A, B, C là các góc của tam giác a = BC, b = CA, c = AB). Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải

\(\begin{array}{l}\frac{{a.\cos A + b.\cos B + c.\cos C}}{{a + b + c}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = \sin A + \sin B + \sin C\\ \Leftrightarrow \sin A.\sin B.\sin C = cos\frac{A}{2}.cos\frac{B}{2}.cos\frac{C}{2}\\ \Leftrightarrow 8\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2} = 1\\ \Leftrightarrow 4\sin \frac{A}{2}\left( {cos\frac{{B - C}}{2} - cos\frac{{B + C}}{2}} \right) = 1 \Leftrightarrow 4{\sin ^2}\frac{A}{2} - 4cos\frac{{B - C}}{2}.\sin \frac{A}{2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2\sin \frac{A}{2} - cos\frac{{B - C}}{2}} \right)^2} + 1 - co{s^2}\frac{{B - C}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}cos\frac{{B - C}}{2} = 1\\\sin \frac{A}{2} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B = C\\A = \frac{\pi }{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều (có hai góc ở đáy bằng nhau và 1 góc bằng 60^o)