Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu bộ câu hỏi Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 6)

Bài 15: Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình: 12x² – 6mx + m² – 4 + $\frac{12}{m^2}$ = 0 (1). Tìm m sao cho x₁³ + x₂³  đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ∆’ ≥ 0

⇔ \(9{m^2} - 12\left( {{m^2} - 4 + \frac{{12}}{{{m^2}}}} \right) \ge 0\)

⇔ 4 ≤ m² ≤ 12 ⇔ \(m \in \left[ { - 2\sqrt 3 ; - 2} \right] \cup \left[ {2;2\sqrt 3 } \right]\)

Theo định lý Vi–ét, phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{m}{2}\\{x_1}{x_2} = \frac{1}{{12}}\left( {{m^2} - 4 + \frac{{12}}{{{m^2}}}} \right)\end{array} \right.\)

⇒ x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3x₁x₂(x₁ + x₂) = \(\frac{m}{2} - \frac{3}{{2m}}\)

Xét hàm số \(y = \frac{m}{2} - \frac{3}{{2m}}\) có:

TXD: D = \(\left[ { - 2\sqrt 3 ; - 2} \right] \cup \left[ {2;2\sqrt 3 } \right]\)

\(y' = \frac{1}{2} + \frac{3}{{2{m^2}}}\)  > 0 với mọi m

Do đó, hàm số y luôn đồng biến với mọi m thuộc D.

Ta có: \(y(2) = \frac{2}{2} - \frac{3}{{2.2}} = \frac{1}{4};\,\,y(2\sqrt 3 ) = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} - \frac{3}{{2.2\sqrt 3 }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)

Vì \(y(2\sqrt 3 ) > y(2)\) nên giá trị lớn nhất của x₁³ + x₂³ là \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\) khi m = \(2\sqrt 3 \)