Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu bộ câu hỏi Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 6)

Bài 47: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB, dây cung DE. Tia DE cắt AB ở C. Biết $\widehat{DOE}$ = 90° và OC = 3R.

a) Tính độ dài CD và CE theo R;

b) Chứng minh CD . CE = CA . CB.

Lời giải:

a) Tam giác DOE vuông tại đỉnh O có OD = OE = R, do đó \(DE = \sqrt {{R^2} + {R^2}}  = R\sqrt 2 \).

Từ O, hạ OH vuông góc với DE tại H, ta tính được \(OH = DH = HE = \frac{{DE}}{2} = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác vuông HOC có OC² = OH² + HC² (định lí Pythagore)

Suy ra HC² = OC² – OH² = (3R)² – \({\left( {\frac{{R\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\) = \(\frac{{17{R^2}}}{2}\), do đó \(HC = \frac{{R\sqrt {34} }}{2}\).

Suy ra CE = HC – HE = $\frac{R\sqrt{34}}{2}-\frac{R\sqrt{2}}{2}=\frac{R\sqrt{34}-R\sqrt{2}}{2}$.

và CD = HC + HD = $\frac{R\sqrt{34}}{2}+\frac{R\sqrt{2}}{2}=\frac{R\sqrt{34}+R\sqrt{2}}{2}$.

b) Ta có: CD . CE = $\frac{R\sqrt{34}-R\sqrt{2}}{2}.\frac{R\sqrt{34}+R\sqrt{2}}{2}=\frac{34R^2-2R^2}{4}=8R^2$.

Lại có: CB = OC – OB = 3R – R = 2R và CA = OC + OA = 3R + R = 4R.

Do đó, CA . CB = 4R . 2R = 8R².

Vậy CD . CE = CA . CB = 8R².