Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu bộ câu hỏi Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 6)

Bài 42: Cho tam giác ABC thỏa $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\frac{2r}{R}=4$. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải:

Ta có: \(S = \frac{{abc}}{{4R}} = pr = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

\( \Rightarrow {S^2} = \frac{{abc.pr}}{{4R}} = p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{2r}}{R} = \frac{{8p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}{{abcp}}\)

\( \Rightarrow \frac{{2r}}{R} = \frac{{\left( {a + b - c} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {c + a - b} \right)}}{{abc}}\).

Theo giả thiết ta có: \(\frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} + \frac{{2r}}{R} = 4\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{abc}} + \frac{{\left( {a + b - c} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {a + c - b} \right)}}{{abc}} = 4\)

⇔ a³ + b³ + c³ + (a + b – c)(b + c – a)(a + c – b) = 4abc

⇔ a²b + ab² + b² c + bc² + c²a + ca² = 6abc (1)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

a²b + ab² + b² c + bc² + c²a + ca² ≥ 6abc

Do đó (1) đúng khi a = b = c.

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.