Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu bộ câu hỏi Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 6)

Bài 39: Cho đường tròn (O; R), và điểm A nằm ngoài đường tròn (O) sao cho OA = 2R. Vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (O). Gọi BH là đường cao của Δ ABO, BH cắt đường tròn (O) tại C

a) Chứng minh: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Từ O vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt AC tại K. Chứng minh: KA = KO.

c) Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh: KI là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d) AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D. Chứng minh: ΔAIC ∽ Δ ACD.

Lời giải:

a) Xét tam giác OBC có OB = OC = R nên tam giác OBC cân tại O, có OH là đường cao nên OH là đường phân giác của góc BOC \( \Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {AOC}\).

Xét tam giác ABO và tam giác ACO có:

AO: cạnh chung

OB = OC = R

\(\widehat {AOB} = \widehat {AOC}\) (chứng minh trên).

Do đó, ∆ABO = ∆ACO (cgc).

Suy ra \(\widehat {ACO} = \widehat {ABO} = 90^\circ \) (do AB là tiếp tuyến của (O; R)).

Do đó, AC vuông góc với CO tại C.

Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Gọi M là giao điểm của OK và BC.

Xét tam giác BMO vuông tại O có OH vuông góc với BM, ta suy ra \(\widehat {MOH} = \widehat {HBO}\) (cùng phụ với góc BOH).

Xét tam giác ABO vuông tại B có BH vuông góc với AO, ta suy ra \(\widehat {HBO} = \widehat {BAH}\) (cùng phụ với góc HBA).

Do đó, \(\widehat {MOH} = \widehat {BAH}\).

Mặt khác, \(\widehat {BAH} = \widehat {HAK}\) (tính chất hai tiếp tuyến AB, AC cắt nhau).

Suy ra \(\widehat {MOH} = \widehat {HAK}\,\,\,hay\,\,\widehat {KOA} = \widehat {KAO}\). Khi đó, tam giác KAO cân tại K.

Vậy KO = KA.

c) Ta có: OA = OI + AI

⇒ AI = OA – OI = 2R – R = R

⇒ AI = OI = R ⇒ I là trung điểm của OA.

Xét tam giác KAO cân tại K có KI là đường trung tuyến nên KI cũng là đường cao.

Suy ra KI vuông góc OA tại I hay KI vuông góc với OI.

Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d)  Xét tam giác AIC và tam giác ACD có:

\(\widehat {DAC}\): góc chung

\(\widehat {ACI} = \widehat {ADC}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung IC)

Do đó, ΔAIC ∽ Δ ACD (g – g).