Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu bộ câu hỏi Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 6)

Bài 33: Cho tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC. Lấy D đối xứng với M qua N.

a) Chứng minh tứ giác ABMN là hình thang.

b) Tứ giác ADCM là hình gì? Vì sao?

c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM. Chứng minh rằng: B, I, D thắng hàng.

d) Qua điểm D kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng BC tại E. Đường

thắng IN cắt DE tại F. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác MNFE là hình thang cân.

Lời giải:

a) Vì M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN // AB.

Do đó, tứ giác ABMN là hình thang.

b) Vì D đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của MD, mà N là trung điểm của AC và AC, MD là hai đường chéo của tứ giác ADCM. Do đó ADCM là hình bình hành.

c) Vì ADCM là hình bình hành nên AD // MC và AD = MC.

Mà MB = MC (M là trung điểm của BC).

Do đó, AD = BM và AD // BM.

Suy ra tứ giác ABMD là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo AM và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà I là trung điểm của AM nên I cũng là trung điểm của BD.

Vậy, B, I, D thẳng hàng.

d) MNFE là hình thang cân, suy ra \(\widehat {NME} = \widehat {FEM}\).

Mà \(\widehat {FEM} = \widehat {ACB}\) (AC // DE), \(\widehat {NME} = \widehat {ABC}\) (MD // AB).

Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\), do đó tam giác ABC cân tại A.

Vậy để tứ giác MNFE là hình thang cân thì tam giác ABC là tam giác cân tại A.