Tailieumoi.vn biên soạn và giới thiệu bộ câu hỏi Toán gồm các kiến thức lý thuyết và thực hành, giúp học sinh ôn tập và bổ sung kiến thức cũng như hoàn thành tốt các bài kiểm tra môn Toán. Mời các bạn đón xem:

Top 1000 Bài tập thường gặp môn Toán có đáp án (Phần 6)

Bài 29: Cho đường tròn (O). Một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm). Kẻ đường kính AOC và dây AB vuông góc với OM tại H.

1. Chứng minh BC // OM và tứ giác AOBM nội tiếp đường tròn.

2. Kẻ dây CN của đường tròn (O) đi qua H. Tia MN cắt (O) tại điểm thứ hai D. Chứng minh MA² = MN.MD.

3. Chứng minh: B, O, D thẳng hàng.

Lời giải:

1. Ta có \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra AB ⊥ BC, mà AB ⊥ OM, do đó BC // OM.

Vì đường tròn (O) có AB ⊥ OM tại H nên H là trung điểm của AB.

Khi đó, tam giác MAB có MH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác MAB cân tại M.

Suy ra \(\widehat {MAH} = \widehat {MBH}\).

Lại có tam giác OAB cân tại O (OA = OB) nên \(\widehat {OBH} = \widehat {OAH}\).

Mà \(\widehat {OAH} + \widehat {MAH} = \widehat {OAM} = 90^\circ \) (do MA là tiếp tuyến của đường tròn (O)).

Do đó, \(\widehat {MBH} + \widehat {OBH} = 90^\circ \) hay \(\widehat {OBM} = 90^\circ \).

Xét tứ giác AOBM có \(\widehat {OAM} = \widehat {OBM} = 90^\circ \).

Suy ra tứ giác AOBM là tứ giác nội tiếp.

2. Xét tam giác MAN và tam giác MDA có:

\(\widehat {AMD}\): góc chung

\(\widehat {MAN} = \widehat {ADM}\)(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)

Do đó, tam giác MAN đồng dạng với tam giác MDA (g.g).

Suy ra \(\frac{{MN}}{{MA}} = \frac{{MA}}{{MD}}\)\( \Rightarrow \) MA² = MN . MD (đpcm).

3. Xét tam giác OAD có OA = OD nên tam giác OAD cân tại O.

Suy ra \(\widehat {ODA} = \widehat {OAD}\) (1).

Xét đường tròn (O), có \(\widehat {ACB} = \widehat {ADB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

Suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {ODA}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {OAD}\).

Lại có \(\widehat {ACB} + \widehat {CAB} = 90^\circ \) (do tam giác ABC vuông tại B).

Do đó, \(\widehat {OAD} + \widehat {CAB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {BAD} = 90^\circ \) nên góc BAD chắn nửa đường tròn.

Suy ra BD là đường kính của đường tròn (O).

Vậy B, O, D thẳng hàng.